Quantique, rétrosymétrie, Transactions - Nouvelles pages [fr]

Diffusion Compton

2018-06-19T22:07:53Z

Jacques Lavau : Page créée avec « {{Diffusion}} En physique, la '''diffusion Compton''' est la diffusion d'un photon sur une particule de matière, comme un élec... »

{{Diffusion}}
En [[physique]], la '''diffusion Compton''' est la diffusion d'un [[photon]] sur une [[particule élémentaire|particule]] de [[matière]], comme un [[électron]]. On appelle '''effet Compton''' plus spécifiquement l'augmentation de la [[longueur d'onde]] du photon par la diffusion. Ce dernier phénomène a été observé la première fois par [[Arthur Compton]] en [[1923]]. L'expérience de Compton devint l'ultime observation qui convainquit tous les [[physicien]]s que la lumière peut se comporter comme un faisceau de particules dont l'énergie est proportionnelle à la [[fréquence]] (ou inversement à la [[longueur d'onde]]). Cet effet est important en physique car il a démontré que la lumière ne peut pas être purement décrite comme une [[onde]], mais aussi comme une [[particule élémentaire|particule]].

== Histoire de la découverte de l'effet Compton ==
[[Image:Compton-effekt1.png|thumb|300px|Diffusion Compton d'un photon sur un électron lié à un noyau]]
C'est dans une atmosphère de très grand [[Scepticisme scientifique|scepticisme]] au sujet de la théorie de la [[quantification]] de la lumière d'[[Albert Einstein]] qu'[[Arthur H. Compton]] débute ses travaux de [[thèse]] ([[Ph.D.]]) en [[1912 en science|1912]], thèse qu'il soutiendra à l'[[université de Princeton]] en juin [[1916 en science|1916]]. Il passe l'année suivante ([[1916]]-[[1917]]) en tant que professeur de [[physique]] à l'[[université du Minnesota]], puis devient ingénieur de recherche pour la compagnie des lampes [[Westinghouse]] durant 2 ans (1917-1919). Arthur Compton reçoit en [[1919]] une des premières bourses du conseil national de la recherches pour aller étudier en [[Grande-Bretagne]] à [[Cambridge]], au sein du [[laboratoire Cavendish]] pour l'année universitaire [[1919]]-[[1920]]. De retour aux [[États-Unis]], il est nommé Professeur de Physique et Directeur du département de Physique de l'[[université Washington]] à [[Saint Louis (Missouri)|Saint Louis]], [[Missouri (État)|Missouri]]. Il y reste jusqu'en [[1923]], date de la publication de sa découverte de l'effet qui porte désormais son nom.

Lorsque Compton débute ses recherches à l'[[université du Minnesota]] en [[1916]], l'[[électrodynamique classique]] est encore acceptée par une très grande majorité des physiciens. Compton voulait tester expérimentalement une ancienne théorie de [[Wilhelm Weber]] considérant l'atome comme l'''ultime particule magnétique''. Pour cette expérience, Compton fit réfléchir des [[rayon X|rayons X]] sur un cristal de [[magnétite]] en ajoutant alternativement un [[champ magnétique]] extérieur. Il cherchait à observer un éventuel changement dans les figures de [[diffraction]] de [[Max von Laue]], qui auraient dû apparaître du fait du mouvement des atomes de magnétite dans leur réseau cristallin. Malgré de nombreuses tentatives, Compton ne vit jamais de modification des figures de diffraction. Il passe alors les cinq années suivantes à essayer de comprendre comment les [[rayon X|rayons X]] étaient diffusés lorsqu'ils traversent la matière.

Lorsqu'il rejoint la compagnie Westinghouse en 1917, ces résultats l'avaient déjà convaincu que ce n'était pas l'atome qui était la particule magnétique ultime mais bien l'[[électron]]. Durant sa période industrielle, Compton continue à travailler sur des sujets théoriques concernant la dimension de l'électron. Compton réfléchit à de nouvelles idées à [[Laboratoire Cavendish|Cavendish]], non seulement grâce aux critiques nombreuses de [[Ernest Rutherford|Rutherford]], mais aussi grâce aux résultats expérimentaux qu'il a pu obtenir pendant son séjour à Cavendish.

Ses expériences les plus significatives sont semblables à celles que [[J. A. Gray]] a effectuées à Cavendish avant la [[Première Guerre mondiale]]. Elles consistaient à envoyer un faisceau de [[rayons gamma]] sur des feuilles minces de diverses substances telles que le [[fer]], l'[[aluminium]] et la [[paraffine]], en plaçant un écran d'abord dans le faisceau primaire puis dans le faisceau secondaire, pour observer s'il y avait des différences entre les rayons gamma dans les deux faisceaux.

Compton constate qu'en effet des différences existent. Les rayons gamma secondaires ou diffusés sont plus intenses vers l'avant que vers l’arrière. En d'autres termes ils sont « plus mous » ou d'une plus grande [[longueur d'onde]] que les rayons gamma primaires. Cette « dureté » ou longueur d'onde ne dépend pas de la nature du matériau diffuseur et elle devient « plus molle » (ou d'une plus grande longueur d'onde) lorsque l’[[angle]] de diffusion est plus grand.

Une nouvelle fois, Compton suppose que la [[longueur d'onde]] des rayons gamma ne peut pas être modifiée lors de la diffusion – conformément à la théorie classique de diffusion de [[Joseph John Thomson|Thomson]]. Il a donc recherché une nouvelle explication. Compton finit par conclure que les rayons gamma primaires excitaient l'émission d'un nouveau type de rayonnement gamma de [[fluorescence]] dans le matériau diffuseur - un nouveau type parce que la seule des quatre caractéristiques que ce rayonnement avait en commun avec le rayonnement de fluorescence classique était qu'il avait une plus grande longueur d'onde que le rayonnement primaire. Mais comment un type de rayonnement fluorescent si nouveau pouvait-il être excité dans le matériau diffuseur?

Compton proposa un mécanisme spécifique : les rayons gamma primaires frappent les électrons dans le diffuseur, qu'il considère maintenant comme des oscillateurs électriques, et sont propulsés vers l’avant à des vitesses [[relativité restreinte|relativistes]]. Le rayonnement émis formerait un pic dans la direction vers l'avant, et lors de son observation perpendiculairement à la direction du mouvement, il subirait un [[effet Doppler|décalage Doppler]] induisant une plus grande longueur d'onde que le rayonnement primaire. C’est ainsi que Compton expliqua les caractéristiques des rayons gamma diffusés qu'il avait observés.

Lorsque Compton quitta le laboratoire de Cavendish à la fin de l'été [[1920 en science|1920]] pour prendre la charge de professeur à l'[[université Washington]] à [[Saint Louis (Missouri)|Saint Louis]], [[Missouri (État)|Missouri]], il emporta avec lui un [[spectromètre]] de [[William Henry Bragg|Bragg]], dans le but de voir si les [[rayon X|rayons X]] pourraient exciter le même nouveau type de rayonnement fluorescent - avec toutes ses caractéristiques peu communes qu'il avait observées pour les rayons gamma. Son plan était d'utiliser son spectromètre de Bragg non pas comme [[spectromètre]], mais comme « sélecteur de longueur d'onde », c'est-à-dire pour produire un faisceau monochromatique de rayons X. En avril 1921 il obtint sa réponse : les rayons X monochromatiques excitaient en effet le même nouveau type de rayonnement fluorescent que les rayons gamma. En outre, comme il le découvrit bientôt avec [[Charles F. Hagenow]], le nouveau rayonnement de fluorescence X est également polarisé – un nouveau comportement étonnant par rapport au rayonnement de fluorescence ordinaire.

A l'automne 1921, Compton a une nouvelle surprise. J.A. Gray, maintenant à l'[[université McGill]] à [[Montréal]] mais qui travaillait temporairement dans le laboratoire de [[William Henry Bragg|William H. Bragg]] à l'[[université de Londres]], s’était également tourné vers des expériences de rayons X en 1920. Il avait envoyé des rayons X approximativement homogènes d'une raie de l’[[étain]] sur un [[écran]] en [[aluminium]] et avait également constaté que les rayons X secondaires étaient beaucoup plus « mous » que les primaires. Il expliqua cette observation en supposant que les rayons X primaires se composaient d’impulsions électromagnétiques interférant les unes avec les autres après avoir été diffusées, pour former des impulsions plus larges, c’est-à-dire plus « douces ». En même temps, Gray invoquait également que si ses rayons de X primaires étaient constitués non pas d’impulsions électromagnétiques mais d’ondes électromagnétiques véritablement monochromatiques, alors les rayons X secondaires ou diffusés auraient nécessairement la même longueur d'onde que les primaires - suivant encore la théorie classique de la diffusion de Thomson. En septembre 1921, [[S. J. Plimpton]], qui travaillait également dans le laboratoire de Bragg à Londres, confirma l'interprétation de Gray. Plimpton montra qu'un faisceau homogène de rayons X, produits par réflexion à partir d'un [[cristal]] incurvé de [[mica]], ne devenait pas plus « mou » une fois diffusé par de la [[paraffine]] ou de l'[[eau]].

L'interprétation de Gray et la confirmation de Plimpton troublèrent profondément Compton, parce qu'il avait conclu que quand un faisceau primaire homogène de rayons X traversait la matière, le secondaire ou les rayons X diffusés étaient en effet plus « mous » que les primaires, puisqu'ils étaient composés de son nouveau type de rayons X de fluorescence. Alors, Compton, immédiatement (en octobre 1921), effectua d'autres expériences et se convaincu que Plimpton était dans l’erreur et que lui avait raison. Compton considéra son expérience comme cruciale – ''crucis experimentum'', dans la [[terminologie]] vénérable de [[Isaac Newton|Newton]] - entre la sienne et les théories de Gray, n'ayant pas la moindre idée qu'une troisième théorie entièrement différente était alors possible.

Juste après avoir rapporté les résultats précédents, Compton fait le plus consécutif de tous les changements dans son programme expérimental. Il commence à utiliser son spectromètre de Bragg non plus comme « sélecteur de longueur d'onde » mais comme véritablement un spectromètre, c’est-à-dire qu’il commence à comparer le spectre du rayonnement secondaire et celui des rayons X primaires. Il utilise pour ses rayons X primaires la raie K du [[molybdène]], dont la longueur d'onde est <math>\lambda = 0,708</math> [[Angström]]s, qu’il envoie sur des diffuseurs de [[pyrex]] et de [[graphite]]. Il observe alors les rayons X secondaires à un angle de diffusion d’environ 90 degrés.

Il publie ses résultats dans [[Physical Review]] au début de [[décembre]] 1921. Il ne montre pas les [[Spectre électromagnétique|spectre]]s obtenus dans cet article, mais ses cahiers d’expérience, retrouvés depuis, montrent que la raie du spectre secondaire est décalée légèrement vers la droite de celle du spectre primaire, ce que Compton n'a pas vu à ce moment. Son article stipule que la [[longueur d'onde]] du rayonnement secondaire est de 0,95 [[Angström]], ou environ 35% plus grande que celle du spectre primaire à 0,708 Angström. En d'autres termes, Compton considère que le spectre primaire est constitué des raies intenses à gauche – vu comme une raie simple à 0,708 Å - et que le spectre secondaire était les raies plus petites à droite - vu comme raie simple à 0,95 Angström. Le rapport mesuré des longueurs d’onde primaire/secondaire était alors λ / λ' = 0,708/0,95 = 0,75.

A partir de ces données, Compton explique cette grande variation dans la longueur d'onde en utilisant son hypothèse du rayonnement de fluorescence et interprète le grand décalage de longueur d'onde comme un [[effet Doppler]]. Ainsi, vu à un angle de 90°, le rapport des longueurs d’onde primaire/secondaire est donné près λ / λ'= 1-v/c, où v est la vitesse des électrons-oscillateurs émettant les rayons X secondaires. Comment Compton a-t-il déterminé la vitesse v? En appliquant la conservation d'énergie, c’est-à-dire en écrivant 1 / 2 mv² = hν, se qui conduit à l’expression λ / λ' = 1−v/c = 1−√((2hν/mc²)) = 1 – 0,26 = 0,74 (avec hν = 0,017 MeV et mc² = 0,511 MeV).

Difficile de souhaiter un meilleur accord entre la théorie et la mesure expérimentale de λ / λ'. Ceci est un très bel exemple historique d'une théorie fausse confirmée par des résultats expérimentaux douteux. Lorsqu’en [[octobre]] [[1922 en science|1922]] Compton publie un article pour le [[Conseil National de la recherche]], il se rend compte qu’il avait mal lu ses résultats expérimentaux. Il réalise que le décalage en longueur d’onde entre le rayonnement primaire et le rayonnement secondaire n’était pas de 35%, mais seulement de quelques pourcents : en réalité λ / λ' = 0,708/0,730 = 0,969, et non 0,75. Une fois encore Compton interprète cela à l’aide de sa théorie du rayonnement de fluorescence associé à un [[effet Doppler]], mais désormais en considérant que la vitesse des [[électron-oscillateur|électrons-oscillateurs]] était déterminée par la conservation de l'[[impulsion]]. En utilisant l’expression h/λ = mv, il arriva à λ / λ' = 1−v/c = 1−h/mcλ.

Cette fois, c'est un bel exemple d'une théorie fausse mais confirmée par des données expérimentales correctes. Dans le mois qui suit, Compton mit tous ces résultats ensemble, utilise ensemble la [[conservation de l'énergie]] et la conservation de la [[quantité de mouvement]], utilise l’expression relativiste exacte pour la masse de l’électron et en déduit la désormais célèbre formule du décalage en longueur d’onde apparaissant lors d’une diffusion de [[rayon X|rayons X]] :

:<math> \Delta \lambda = \lambda' - \lambda = (\frac{h}{m_e c}) (1 - \cos \theta)</math>

À un angle de 90°, le décalage obtenu serait ainsi de 0,024 [[Angström|Å]], ce qu’il compare avec son résultat expérimental (correctement lu) de l’ordre de 0,022 Å. Il n’y avait plus aucun besoin d’invoquer un [[rayonnement]] de [[fluorescence]] associé à un [[effet Doppler]]. Pour expliquer le changement de longueur d’onde observé, il suffisait de considérer qu’un [[quantum]] de lumière d’énergie hν et d’impulsion hν/c entrait en collision avec un [[électron]] libre à la manière d’une boule de [[billard]] et le projetait vers l’avant avec une vitesse relativiste.

Compton expliqua son nouveau calcul tout d’abord à ses étudiants de l’[[université Washington]] en [[novembre]] [[1922]], puis lors d’une rencontre de l’[[American Physical Society]] à [[Chicago]] le [[2 décembre]] [[1922]]. Il soumit sa théorie quantique de la diffusion à la [[Physical Review]] le [[10 décembre]] [[1922]] ; cet article parut en [[mai]] [[1923]]. Arthur Holly Compton avait découvert l’effet Compton.

== Démonstration ==

[[Image:DiffusionCompton.png|thumb|right|300px|Schéma montrant la collision d'un photon sur un électron au repos. L'angle de diffusion du photon est <math>\theta</math>, et celui de l'électron <math>\phi</math>.]]

Considérons un photon venant de la gauche et se dirigeant vers la droite avec une [[impulsion]] <math>\vec{p_1}</math> et une énergie <math>E=p_1 c</math>. Le photon est diffusé par un électron au repos d'énergie initiale <math>m_e c^2</math>. Le photon est diffusé dans une direction faisant un angle <math>\theta</math> par rapport à la direction d'origine. L'électron prenant une direction <math>\phi</math>, l'impulsion du photon après diffusion sera <math>\vec{p_2}</math> et celle de l'électron <math>\vec{p_e}</math>.

=== Variation de la longueur d'onde du photon incident ===
Pour connaître la variation de longueur d'onde du photon dû à la collision, on utilise la conservation de la [[quantité de mouvement]] et la [[conservation de l'énergie]]. La première s'écrit, selon les directions «x» et «y», respectivement le long de la trajectoire incidente du photon, et sa perpendiculaire (voir la figure):

:<math>\left\{\begin{matrix}
p_1 & = & p_2\,\cos\theta + p_e\,\cos\phi\\
0 & = & p_2\,\sin\theta - p_e\,\sin\phi\\
\end{matrix}\right.</math>

En isolant le terme contenant <math>p_{e}</math> dans les deux équations, en élevant ensuite au carré, puis en additionnant les deux équations, et finalement en utilisant l'identité [[trigonométrie|trigonométrique]]: <math>\cos^2\phi+\sin^2\phi = 1</math>, on obtient:

: <math>p^{2}_{e} = p_1^2+p_2^2 - 2p_1\,p_2\,\cos\theta</math>

D'un autre côté, la conservation de l'énergie s'écrit:

: <math>\underbrace{p_1\,c}_{\gamma} + \underbrace{m_e\,c^2}_{e^{-}} = \underbrace{p_2\,c}_{\gamma} + \underbrace{\sqrt{p_{e}^{2}\,c^2 + m_e^2c^4}}_{e^{-}}</math>

où <math>m_e</math> et <math>c</math> sont la masse de l'électron, et la [[vitesse de la lumière]] respectivement. Le signe <math>\gamma</math> est utilisé ici comme habituellement pour désigner le photon-lui-même. De nouveau en isolant le terme en <math>p_{e}^{2}</math>, on obtient:

: <math> p_{e}^{2} = (p_1-p_2)^2 + 2m_e\,c\,(p_1 - p_2)</math>

En soustrayant les deux expressions obtenues pour <math>p_{e}^{2}</math>, on peut calculer l'expression :

:<math> 2p_1p_2\,(1 - cos\theta) = 2m_e\,c\,(p_1 - p_2).</math>

On introduit alors l'hypothèse quantique selon laquelle l'impulsion d'un photon est reliée à sa [[longueur d'onde]] <math>\lambda</math> comme: <math>p=h/\lambda</math> où <math>h</math> est la [[constante de Planck]]. Ainsi, l'équation précédente donne directement la variation de longueur d'onde du photon:

: <math> \Delta\lambda=\lambda_2-\lambda_1=\frac{h}{m_e c}(1 - \cos \theta)</math>

De la même manière, en utilisant <math>\hbar = h/2\pi</math>, et l'identité [[trigonométrie|trigonométrique]] <math>1-\cos\theta = 2(sin^2\theta/2)</math>, on peut écrire:

:<math> \Delta \lambda = \frac{4 \pi \hbar}{m_e c}\sin^2{\theta \over 2}</math>

Cette expression est identique à celle qui s'obtient par un calcul utilisant la [[mécanique quantique]], et les [[diagramme de Feynman|diagrammes de Feynman]].

Le facteur : <math> \frac {h}{m_e c} </math> porte le nom de "longueur d'onde de Compton". On le note <math> \lambda_C </math> , il vaut 0,024 angström.

=== Variation de l'énergie du photon diffusé ===

La variation de longueur d'onde va de paire avec une variation d'énergie: <math> \Delta E </math> donnée par le Postulat de Planck-Einstein: <math> \Delta{}E = h \Delta{}\nu{} = hc (\frac {1}{\lambda+\Delta \lambda } - \frac{1}{\lambda} ) = -hc \frac{\Delta\lambda}{\lambda(\lambda+\Delta\lambda)} </math>.

Ainsi, si un photon incident possède une énergie : <math> E_0 </math>, alors l'énergie de ce photon après diffusion sur un électron de la matière aura l'énergie:

<math> E = \frac {E_0} {1 + \alpha (1- \cos \theta)} </math>

où <math> \alpha = \frac {E_0}{m_e\,c^2} </math> et <math> m_e\,c^2 = 0.511 MeV </math>.

L'énergie perdue par le photon est entièrement distribuée à l'électron sur lequel la diffusion s'est faite, l'électron aquiert ainsi l'énergie cinétique:

<math> T_e = E_0 - E = E_0 - \frac {E_0} {1 + \alpha (1- \cos \theta)} </math>

Nous obtenons ainsi la relation suivante:

<math> T_e = E_0 \frac {\alpha (1- \cos \theta)} {1 + \alpha (1- \cos \theta)}</math>

=== Distribution angulaire de la diffusion Compton ===

La diffusion Compton n'est pas isotrope, c'est à dire que la probabilité pour un photon d'etre diffusé vers un certain angle solide <math> d\Omega </math> n'est pas constante: en effet, bien que la probabilité de diffusion vers n'importe quelle azimuth <math> \chi </math> est contante, la probabilité de diffusion vers l'angle polaire <math> \theta </math> est plus grande quand <math> \theta </math> est proche de 0, c'est à dire que le photon à plus de chance d'être diffusé vers l'avant.

La probabilité pour un photon d'énegie <math> E_0 </math> d'être diffusé vers un angle <math> \theta </math> quelconque est donnée par la formule de Klein-Nishina:

<math> \frac {d\sigma_{KN}} {d\Omega}(\alpha, \theta) = \frac{r_0^2} {2} \frac {1} {(1 + \alpha (1-\cos{\theta}))^2} (1 + \cos{\theta})^2 (1+ \frac {\alpha^2 (1-\cos{\theta})^2} {(1 + \cos{\theta})^2(1 + \alpha (1-\cos{\theta}))})</math>

où <math> r_0 </math> est le rayon classique d'un électron ( <math> r_0^2 = 7.940775 \times 10^{-26} cm^2 </math> ), et <math>\alpha = \frac {E_0}{m_e\,c^2}</math>.

Une autre forme plus facile à retenir de cette formule fait intervenir le rapport des énergies du photon avant et après collision:

<math> \frac {d\sigma_{KN}} {d\Omega}(\alpha, \theta) = \frac {r_0^2} {2} \epsilon^2 (\epsilon + \frac {1} {\epsilon} -\sin{}^2(\theta)) </math>

où <math>\epsilon = \frac{E}{E_0}</math>

Ainsi la probabilté pour un photon d'énergie <math> E_0 </math> de subir une diffusion Compton s'écrit:

<math> \sigma_{KN} = \int_{4\pi} {\frac {d\sigma_{KN}} {d\Omega}(\alpha, \theta) d\Omega} = \int^{\pi}_{0} {\frac {d\sigma_{KN}} {d\Omega}(\alpha, \theta) 2\pi \sin{\theta} d\theta} </math>

Ce qui s'intègre en:

<math> \sigma_{KN} = 2 \pi r_0^2 ( \frac {1+\alpha} {\alpha^3} (\frac {2 \alpha (1+\alpha)} {1+2\alpha} - \ln(1+2\alpha)) + \frac {\ln(1+2\alpha)} {2\alpha} - \frac {1+3\alpha} {(1+2\alpha)^2} )</math>

A partir de la formule de Klein-Nishina, il est aussi possible de calculer la probabilité qu'un photon diffusé le soit entre deux angles: <math>\theta1</math> et <math>\theta2</math>. Calculons pour cela la probabilité de diffusion entre les angles polaires 0 et <math>\theta</math>:

<math> P(0\rightarrow\theta) = \frac {\int^{\theta}_{0}{\frac {d\sigma_{KN}} {d\Omega} d\Omega}} {\int^{\pi}_{0}{\frac {d\sigma_{KN}} {d\Omega} d\Omega}}</math>

Ce qui s'intègre en:

<math> P(0\rightarrow\theta) = (2\alpha +1)^2 \frac {N} {2q^3D} </math>

avec:
*<math> q = 1+\alpha(1-\cos{\theta}) </math>
*<math> N = 2q^4 + \alpha{}q^3 (\alpha+4) +2q^3 (\alpha^2-2\alpha-2)ln{q} - 2q^2 (2\alpha + 1) - q \alpha^2 </math>
*<math> D = 4\alpha (\alpha+1)^2 (2\alpha+1) + (2\alpha+1)^2 (\alpha^2 -2\alpha - 2) ln(2\alpha+1) - 2\alpha^3(3\alpha +1) </math>

La probabilité <math>P(\theta1\rightarrow\theta2)</math> de diffusion entre les angles <math>\theta1</math> et <math>\theta2</math>, tels que <math>\theta2 > \theta1</math> s'écrit alors:

<math>P(\theta1\rightarrow\theta2) = P(0\rightarrow\theta2) - P(0\rightarrow\theta1)</math>

== Detection des photons diffusés ==

Supposons qu'un flux <math>\Phi</math> de photons d'énergie <math>E_0</math> frappe un petit échantillon de matière contenant <math>N_e</math> électrons. Supposons maintenant que l'on veuille detecter les photons diffusé sur les électrons de cet échantillon à l'aide d'un détecteur sphérique parfait dont l'angle solide apparent, vu de la source est <math>\Delta\Omega_{det}</math>

Le nombre de photons par seconde détecté par le detecteur est:

<math>N_{det} = \int_{\Delta\Omega_{det}} {\Phi N_e \frac {d\sigma_{KN}} {d\Omega} d\Omega_{det}} </math>

Si de plus le détecteur est assez éloigné de l'échantillon de matière (c'est-à-dire <math>\pi a^2 << R^2 </math>, où <math>a</math> est le rayon du détecteur et <math>R</math> sa distance à l'échantillon), on peut considerer que le detecteur se trouve à l'angle polaire <math>\theta</math> et que <math>\Delta\Omega_{det} = \frac {\pi a^2} {R^2}</math>.

Il detectera alors le nombre de photons par seconde suivant:

<math> N_{det} = \Phi N_e \frac {d\sigma_{KN}} {d\Omega}(\alpha, \theta) \frac {\pi a^2} {R^2} </math>

et tous les photons détectés auront une énergie égale à (ou très proche de):

<math> E = \frac {E_0} {1 + \alpha (1- \cos \theta)} </math>

=== Relation entre l'angle <math> \theta </math> de diffusion du photon et l'angle <math> \phi </math> d'éjection de l'électron ===

Supposons que, dans le réferentiel du laboratoire, le photon soit diffusé vers un angle <math> \theta </math>, alors l'angle d'éjection de l'électron, <math> \phi </math>, est donné par la relation suivante:

<math> \frac {1} {\tan{\phi}} = ( 1 + \alpha ) \tan{ \frac { \theta } {2}} </math>

Ainsi si:

* <math> \theta = \pi </math>, alors <math> \phi = 0 </math>. Cela est facile à comprendre par analogie avec le billard: lorsque la boule blanche (photon) tape directement dans une autre boule (électron) de façon à ce que la blanche revienne en arrière (<math> \theta = \pi </math>), alors l'autre boule va généralement vers l'avant (<math> \phi = 0 </math>)

* <math> \theta = 0 </math>, alors <math> \phi = \frac { \pi } {2} </math>. Ce cas est plus difficile à comprendre mais peut aussi etre expliqué par une analogie avec le billard. Lorsque qu'on fait taper la boule blanche (photon) dans une autre boule (électron) de façon à ce que la blanche ne change presque pas de direction et continue tout droit (<math> \theta = 0 </math>), alors la boule blanche n'a fait qu'effleuré l'autre boule qui est déplacée perpendiculairement à la trajectoire de la blanche (<math> \phi = \frac { \pi } {2} </math>)

=== Régimes Thomson et Klein-Nishina ===

Selon que le photon incident a une très grande énergie ou pas, on distingue deux «régimes» de la diffusion Compton: les régimes dits «Thomson» (qui donne la [[diffusion Thomson]]) et «Klein-Nishina». Par commodité, définissons l'énergie en unités naturelles, c'est-à-dire en unités de l'énergie au repos de l'électron:

:<math>\Sigma = \frac{E}{m_e \, c^2}</math>

où <math>m_e</math> et <math>c</math> sont la masse de l'électron et la vitesse de la lumière, et le dénominateur n'est rien d'autre que le fameux [[E=mc2|E=mc2]]. On peut donc réécrire la variation de longueur d'ondeci-dessus en variation d'énergie comme suit:

: <math> \frac{\Delta\Sigma}{\Sigma} = - \Sigma' (1-\cos\theta)</math>

Pour des photons avec une très faible énergie, c'est-à-dire avec une énergie bien plus faible que l'énergie au repos de l'électron (511 k[[Électron-volt|eV]]), on a évidemment <math>\Sigma << 1</math>, et donc:

: <math> \frac{\Delta\Sigma}{\Sigma} \rightarrow 0</math>

Ce qui signifique que si le photon a une très faible énergie face à l'électron au repos, sa longueur d'onde ne changera quasiment pas. Seule sa direction va changer. C'est ce qu'on appelle le ''régime Thomson''. Dans ce cas, la diffusion Compton retombe sur le cas particulier de la [[diffusion Thomson]].

Dans le cas contraire où le photon a une grande énergie face à l'électron au repos, <math>\Sigma >> 1</math>, on obtient alors:

: <math>\frac{\Delta\Sigma}{\Sigma} = \frac{\Sigma - \Sigma'}{\Sigma} \rightarrow 1</math>

et donc:

: <math>\Sigma' \approx \frac{1}{1-\cos\theta} \sim O(1)</math>

où le terme <math>O(1)</math> signifie «de l'ordre de 1». Dans ce cas, le photon incident a une très grande énergie, mais après la collision, il n'a essentiellement que l'énergie d'un électron au repos (<math>m_e\,c^2</math>). Il a donc perdu une grande partie de son énergie. On parle alors de perte «catastrophique», et ce régime est appelé «régime de Klein-Nishina». Remarque : l'effet Compton n'est bien sûr pas limité au couple photon-électron. Toute particule chargée électriquement est susceptible d'y être soumise ; cependant, l'effet est plus spectaculaire pour l'électron, la variation de longueur d'onde étant inversement proportionnelle à la masse de la particule (l'électron est la plus légère des particules chargées de l'Univers « ordinaire »).

== Diffusion Compton inverse ==

La ''diffusion Compton inverse'' est la diffusion d'[[électron]]s sur des [[photon]]s, leur transférant ainsi une grande partie de leur énergie. C'est un effet très important en [[astrophysique]], et permet d'expliquer l'[[effet Sunyaev-Zel'dovich]], en [[cosmologie]].

Au niveau théorique la description de l'effet Compton inverse est semblable à celle explicitée plus haut. Il s'agit tout simplement d'un [[transformation de Lorentz|changement de repère]]. En se plaçant dans le référentiel propre de l'électron après la diffusion on s'aperçoit alors que la fréquence du photon est augmentée, au dépend de l'énergie de l'électron incident. Ainsi la différence entre l'effet direct et l'effet inverse gît plutôt dans les conditions initiales : le premier se manifeste lors de la diffusion de photons sur des électrons pratiquement au repos (dans la matière), le second dans le freinage d'électrons rapides par des photons de plus ou moins basse énergie, présents dans le milieu interstellaire.

== Références ==

* {{en}} [http://www.aip.org/history/gap/Compton/Compton.html ''A Quantum Theory of the Scattering of X-Rays by Light Elements'']. L'article original datant de 1923, publié dans la ''[[Physical Review]]'' par [[Arthur H. Compton]], sur le site de l'[[American Institute of Physics]].

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===

* [[Arthur Compton]]
* [[Diffusion Rayleigh]]
* [[Rayon gamma]]
* [[Peter Debye]]
* [[Effet Sunyaev-Zel'dovich]]
* [[Walther Bothe]]

=== Lien externe ===

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Onde pilote

2018-06-19T21:30:05Z

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L'objet de cet article est de démontrer l'équation de Schrödinger indépendante du temps à partir de l'onde de de Broglie.

==Masse et vibration==
===Particule matérielle===
L’énergie E, la masse m et la fréquence interne ν d’une particule matérielle sont reliées selon la formule d’Einstein-Planck qui établit l'équivalence entre énergie, masse et fréquence :
:<math>\left. E = h \nu = m c^2 \right.</math>.

où c est la vitesse de la lumière et h la constante de Planck. Energie, masse et fréquence sont donc proportionnelles en vertu des relations précédentes. Rappelons la formule de la masse relativiste d'Einstein :
:<math>m_r= \frac{m_0}{ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} } </math>

<math>m_0</math> est la masse au repos ou masse propre de la particule et <math>m_r</math> sa masse relativiste en mouvement à la vitesse v. En combinant les deux relations précédentes, on obtient la fréquence ν, qui s'écrit selon de Broglie (p 35 de sa thèse [http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00006807/en/ Louis de Broglie, Recherches sur la théorie des Quanta], numérotation en haut de page) :

:<math>\nu= \frac{m_0 c^2}{ h\ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} } </math>

La fréquence ν, très élevée, de <math>123,559 .10^{18}</math> pour un électron, correspond aux rayons gamma les plus durs. Elle ne semble pas mesurable directement, par exemple à l'aide d'un fréquencemètre. La formule est valable dans n’importe quel référentiel, en particulier dans le référentiel propre de la particule matérielle, où <math>E_0 = h\nu_0 = m_0c^2 .\ \nu_0</math> est la fréquence propre, une fréquence de coupure en dessous de laquelle celle de la particule ne peut descendre. Au repos, l'énergie et la masse sont aussi minimales. Comme h et c sont des constantes universelles, la fréquence est différente dans le référentiel propre de la particule et dans celui de l’observateur, dans les mêmes proportions que la masse ou l'énergie. Cette fréquence varie peu avec la vitesse lorsqu’elle est faible, mais tend vers l’infini lorsque la vitesse de la particule matérielle approche celle de la lumière :

:<math>\nu= \frac{\nu_0}{ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} }= \gamma\nu_0 </math>

où <math>\gamma</math> est le facteur de Lorentz. On remarquera que la fréquence d’une particule augmente dans le même rapport que le temps t de l'observateur au temps propre <math>t_0</math>selon la transformation de Lorentz:
:<math>t= \frac{t_0}{ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} }</math>

alors qu’à première vue, ce devrait être l’inverse, le temps étant l'inverse d'une fréquence !

Les théories des quanta et de la relativité restreinte ont pour conséquence, lorsqu’on les conjugue, l’existence d’une "''vibration''" ou oscillation ou gyration interne à toute particule matérielle, de fréquence croissant avec sa vitesse selon la relation donnée plus haut.

==Hypothèse de conservation de la phase==
De Broglie fait l'hypothèse dite de "l'harmonie des phases" (thèse, p 35 [http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00006807/en/ Louis de Broglie, Recherches sur la théorie des Quanta], numérotation en haut de page), où le "phénomène périodique" de fréquence ν’ dans le référentiel propre R’ de la particule est "constamment en phase avec une onde se propageant dans la même direction que le mobile".

L’amplitude de ce phénomène périodique est, à un coefficient près, représenté par une "fonction sinusoïdale" avec une phase nulle au départ :

:<math>sin (2\pi \nu' t')</math>

Dans le référentiel R du laboratoire, v est la vitesse de la particule, x son abscisse et t le temps de l’observateur, mesuré par une horloge du laboratoire. Appliquons la transformation de Lorentz du temps pour obtenir le temps propre t' à partir du temps t du laboratoire :

:<math>t'=\gamma[t - \frac{vx}{c^2}] </math>

En remplaçant t’ par cette expression, l’amplitude de l’onde s’écrit, en utilisant le temps t de l’observateur

:<math>sin[2\pi\nu'\gamma(t - \frac{vx}{c^2} )]</math>

Or, selon la définition de la phase, l’amplitude d’une onde de vitesse de phase <math>v_\phi</math> s’écrit :

:<math>sin[2\pi\nu'\gamma(t - \frac{x}{v_\phi} )]</math>

Les deux expressions précédentes représentent le même phénomène dans le référentiel R’, on a en les identifiant :

:<math>v_\phi=\frac{c^2}{v}=\frac{c}{\beta} </math>

où <math>\beta= v/c</math> [http://www.davis-inc.com/physics/rendus-f.pdf Ondes et quanta, Ondes et quanta, C. R. Acad. Sci., 177, 1923, p. 517-519]. La vitesse c de la lumière est donc la moyenne géométrique des vitesses v de la particule et de phase <math>v_\phi</math> de l’onde associée. Comme la vitesse de la particule ne peut dépasser la vitesse de la lumière c, la vitesse de phase <math>v_\phi</math> lui est supérieure. Ce n’est pas contradictoire avec la relativité puisque la vitesse de phase correspond à la vitesse de transmission des zéros de l’onde où, l’amplitude étant nulle, il n’y a pas transmission d’énergie. Une vitesse de phase supérieure à celle de la lumière est bien connue dans les guides d’ondes. Chacun peut observer un phénomène analogue au bord de mer: une vague peut déferler le long d’une digue à une vitesse supérieure à sa vitesse propre perpendiculaire à la digue.

L’identification des mêmes formules donne aussi la fréquence ν dans le référentiel R de l’observateur :

:<math>\nu= \frac{\nu'}{ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} }= \gamma\nu' </math>

On retrouve, sans faire appel à la notion de masse relativiste, la formule du paragraphe précédent, avec un décalage vers le « bleu » lorsque la vitesse v croît.

==Longueur d'onde de Broglie==
La longueur d’onde étant le rapport de la vitesse de phase <math>\left.v_{\phi}\right.</math>
à la fréquence ν, en utilisant maintenant
:<math>E=\left.h\nu=mc^2 \right.</math>

on a
:<math>\lambda= \frac{v_\phi}{\nu}= \frac{c^2}{v\nu} = \frac{h}{mv}= \frac{h\ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}}}{ m_0v} </math>

En utilisant la quantité de mouvement p = mv, on obtient la relation relativiste de Broglie :
:<math> \mathbf{\lambda=\frac{h}{p}}</math>

Davisson et Germer ont fait diffracter des électrons par un réseau cristallin et vérifié la formule de Broglie de la longueur d’onde associée à un électron. A chaque masse et chaque vitesse sont donc associées une fréquence ν, proportionnelle à la masse relativiste, et une longueur d’onde λ. Au repos, la vitesse étant nulle, la longueur d'onde est infinie et la fréquence, comme la masse, minimale.

En résumé, Broglie a émis l’hypothèse que la fréquence de vibration associée à une particule par la relation d’Einstein-Planck correspondait à une véritable onde ayant une vitesse de phase. La transformation de Lorentz donne la relation entre la vitesse de la particule et la vitesse de phase, dont la moyenne géométrique est la vitesse de la lumière. De Broglie a obtenu la longueur d'onde, rapport de la vitesse de phase à la fréquence. De Broglie n'a fait aucune hypothèse sur la nature de l'onde, encore inconnue, qui pourrait être gravitationnelle, électromagnétique ou autre. C'est, actuellement, l'hypothèse probabiliste de Born qui est retenue.

==Relation de Heisenberg==

Comme on ne peut séparer en deux un photon unique, on obtient le chemin suivi dans l'expérience des fentes d'Young en plaçant un détecteur dans chacun des deux faisceaux, à la sortie de chaque trou. On constate que le photon se dirige aléatoirement dans chacune des voies. Le photon, s’il est détecté, est détruit ou, éventuellement, modifié avec son onde. L’interférence disparaît donc aussi. L'expérience du microscope d'Heisenberg consiste à observer un électron avec un microscope afin de déterminer sa position et sa vitesse. Pour observer l'électron, il faut l'éclairer avec de la lumière qui va interagir avec l'électron par effet Compton, le déplacer et lui conférer une vitesse supplémentaire, ce qui détruit l’interférence.
Imaginons qu’on ait mesuré la quantité de mouvement p = mv d’un électron, par exemple par sa tension d’accélération. Pour obtenir sa position, nous allons le photographier, ce qui nécessite de l’éclairer avec un photon de longueur d’onde

<math>\lambda = \frac {h}{p}</math>

selon la relation de Broglie.

Considérons maintenant un microscope optique dont le pouvoir séparateur est donné par la formule d'Airy et ne peut être inférieur à la limite de Rayleigh ou du quart de longueur d'onde.
La précision sur la position x est donc :
:<math>\Delta x > \frac {\lambda}{4} = \frac {h}{4p}</math>

soit
:<math>\Delta x \ p> \frac {h}{4p}</math>

ce qui est pratiquement la relation d’Heisenberg (Berkeley physique quantique, armand colin, 1967, p 224) :

:<math>\Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi} </math>

=Équations des ondes de matière=
==Équation des ondes de Broglie==
Considérons l’équation de propagation (équation de d’Alembert) des ondes de vitesse de phase <math>\left.v_\phi \right.</math>

<math> \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{1}{v_\phi^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}=0</math>

où Ψ(x, t) est l’amplitude de l’onde, appelée aussi fonction d’onde de probabilité. On a vu que la vitesse c de la lumière est la moyenne géométrique des vitesses de phase <math>v_\phi </math> des ondes de Broglie et de la vitesse v de la particule selon la relation :

<math>\left.v_\phi v = c^2\right.</math>

On peut donc écrire l’équation des ondes de matière sous la forme

<math> \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{v^2}{c^4}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}=0</math>

==Équation de Klein-Gordon==
L’équation des ondes de Broglie peut aussi s’écrire, en mettant à droite la vitesse de la particule :

:<math> \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}=-\frac{1}{c^2}(1-\frac{v^2}{c^2})\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}</math>

En utilisant la relation de Planck-Einstein

:<math> \frac{m_0 c^2}{\sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} }=h\nu </math>

la vitesse disparaît et l’équation des ondes de Broglie devient

:<math> \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2} = -\frac{m_0^2 c^2}{h^2\nu^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}</math>

Pour des ondes quasi-monochromatiques et quasi-stationnaires, la fonction d’onde est sinusoïdale en fonction du temps :

Ψ(x, t) = φ(x) sin(ωt)

où la pulsation ω = 2πν, varie avec la vitesse v selon la relation :
:<math>\omega= \frac{\omega_0}{ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} }= \gamma\omega_0 </math>

Sa dérivée partielle seconde par rapport à t est :

:<math> \frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}=-\omega^2\Psi</math>

En utilisant cette expression dans le second membre seulement de l’équation des ondes de Broglie, la fréquence angulaire ou pulsation variable <math>\left. \omega \right.</math> disparaît mais il reste la fréquence <math>\left.\omega_0\right.</math> de la particule au repos :

:<math> \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2} = \left(\frac{2\pi m_0 c}{h}\right)^2\Psi = \omega_0^2\Psi</math>

Pour un photon, de masse au repos <math>m_0</math> nulle, on retrouve l’équation classique des ondes lumineuses, le second membre étant nul. C'est l'équation de Klein-Gordon en quatre dimensions.
La constante

:<math>R_C=\frac{\lambda_C}{2\pi}</math>

est le rayon de Compton et <math>\lambda_C</math> la longueur d'onde de Compton de la particule. Lorsque <math>m_0</math> est la masse <math>m_e</math> de l’électron, on trouve un rayon de Compton de l’électron de l’ordre du centième de celui de Bohr mais cent fois son rayon classique.

Le d'alembertien (symbole ⟡) est la généralisation à quatre dimensions du laplacien, donc avec le même signe que le laplacien au lieu, parfois, du signe opposé. Son écriture explicite en utilisant la variable w=ict est, en quatre dimensions où le temps est une pseudo-dimension spatiale:

:<math> \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\Psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\Psi}{\partial z^2}+\frac{\partial^2\Psi}{\partial w^2} = \left(\frac{2\pi m_0 c}{h}\right)^2\Psi</math>

On peut encore l'écrire, en utilisant le laplacien <math>\Delta</math> :

:<math> \Delta \Psi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2} = \left(\frac{\omega_0}{c}\right)^2\Psi</math>

Le d'alembertien est invariant dans la transformation de Lorentz et le second membre se transformant comme un champ scalaire, l’équation de Klein-Gordon est invariante dans la transformation de Lorentz, donc relativiste. Elle a été découverte par de Broglie en 1925 (Sur la fréquence propre de l'électron, C. R. Acad. Sci., 180, 1925, p. 498-500.), mais avec, au second membre, un signe moins.

Schrödinger en a fait l’approximation non relativiste et stationnaire, plus facile à résoudre, qui porte son nom.

==Équation de Schrödinger indépendante du temps==

Reprenons l'équation de Klein-Gordon :

<math> \Delta \Psi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2} = \left(\frac{\omega_0}{c}\right)^2\Psi</math>

Lorsque les ondes sont vraîment stationnaires et monochromatiques, la fonction d’onde est le produit de deux fonctions sinusoïdales, l’une des coordonnées, l’autre du temps :

Ψ(x, t)=φ(x)sin(ωt).

d'où :

<math> \frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}=-\omega^2\Psi</math>

L'équation de Klein-Gordon devient :

<math> \Delta \Psi-\frac{1}{c^2}\left(\omega^2 - \omega_0^2\right)\Psi=0</math>

Au lieu des pulsations, utilisons les masses en mouvement et au repos. Avec la relation de Planck-Einstein :

<math>\left.E = \hbar\omega = mc^2\right.</math>

on a :

<math> \Delta \Psi-\frac{1}{c^2}\left[\left(\frac{2\pi m c^2}{h}\right)^2 - \left(\frac{2\pi m_0 c^2}{h}\right)^2\right]\Psi=0</math>

ou

<math> \Delta \Psi-\left(\frac{2\pi c}{h}\right)^2\left(m - m_0\right)\left(m + m_0\right)\Psi=0</math>

Or l'énergie cinétique relativiste est

<math>T= E-V=(m - m_0)c^2</math>

où E est l'énergie totale mécanique et V l'énergie potentielle. Dans l'hypothèse des vitesses petites devant celle de la lumière, on a :

<math>m + m_0\simeq 2m \qquad et \qquad m - m_0\simeq \frac {E - V}{c^2}</math>

L'équation des ondes stationnaires devient alors l'équation de Schrödinger indépendante du temps

<math> \frac{h^2}{8\pi^2m}\Delta\Psi+\left(E-V\right)\Psi=0</math>

Les calculs précédents montrent que l’équation de Schrödinger n’est pas un postulat mais une approximation non relativiste et stationnaire de l’équation de d'Alembert appliquée aux ondes de Broglie définies par λ = h/p.

N.B. Il s'agit ici de l'équation stationnaire ou indépendante du temps et non l'équation de Schrödinger d'évolution qui "ne se démontre pas", simplement parce que sa "démonstration" qu'on trouve parfois dans certains ouvrages, est fausse.

==Équation de Schrödinger dépendant du temps==

L’équation de Schrödinger dépendant du temps est appelée aussi équation de Schrödinger de seconde espèce ou d’évolution car elle n’est pas stationnaire. Elle servirait à étudier les phénomènes transitoires comme les transitions optiques.

L’équation de Schrödinger dépendant du temps en trois dimensions d’espace, sous sa forme "moderne" est considérée, au même titre que la loi fondamentale de la dynamique, comme un postulat car elle ne se démontre pas:

<math>
i\hbar{\partial\Psi(t,\vec{r})\over\partial t}=-{\hbar^2\over 2m}{\Delta}\Psi(t,\vec{r})+V(\vec{r},t)\Psi(t,\vec{r})
</math>

où <math>\Delta\,</math> est le laplacien.
==L'onde pilote, ou onde tout court ?==
La théorie de l'onde pilote n'est certes pas à la mode mais on peut retenir son principe philosophique sans entrer dans le détail des équations. Celles qui sont données ci-dessus restent valables. Cette idée a été reprise par Born qui l'a transformée en onde de probabilité, faute de mieux puisqu'on ne connait pas sa nature physique. Il est toutefois certain qu'une onde est associée à toute particule en mouvement même si on ne peut dire si c'est la particule qui pilote l'onde ou l'inverse, et encore moins que la "particule" existe, alors que l'onde, elle est prouvée. En effet, toute l'affirmation de "''particules''" et de "''aspects corpusculaires''", repose sur le postulat préalable et clandestin que "''Il n'y a pas d'absorbeurs''". Postulat qui n'a jamais été validé.

"Craignant les critiques que ne manquerait pas de soulever l'exposé d'une théorie insuffisamment fondée, il adopte un point de vue qu'il qualifie lui-même de « mitigé » : il place d'autorité le corpuscule au sein de l'onde et suppose qu'il est entraîné comme une particule d'un fluide dont la masse volumique serait égale au carré du module de la fonction d'onde. C'est la théorie de l'onde pilote, théorie généralisant l'image hydrodynamique de Madelung, qui préserve la notion de corpuscule localisé dans l'espace, mais qui se borne à constater le dualisme onde-corpuscule sans en préciser la nature." 
Germain (Louis de Broglie ou la passion de la « vraie » physique).

General relativity

2018-06-19T19:57:33Z

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== Curved space-time ==

Curvature of the four-dimensional space-time is the basis of general relativity. A curved space is difficult to conceive particularly the fourth dimension is peculiar. Einstein calls it t=x4. It seems simpler to consider it as an imaginary number ict where i is the quadratic root of -1 and c the speed of light. Then the space-time has the following four dimensions: (x,y,z,w=ict).

== Riemann coordinates ==

Understanding of general relativity, like restricted relativity, will be easier by using two dimensions (x, y=ict) instead of four. With this representation, we will have a riemannian instead of pseudo-riemannian space.
Cartesian coordinates are the most common reference system. The Earth, being spherical, is not a flat space and the Pythagorean theorem is valid only locally. The cartesian frame changes its orientation from place to place but the law of gravity is the same in Paris or in Valparaiso. The Riemann coordinates are local cartesian coordinates. They are such that the Pythagorean theorem is valid even on a curved surface. It is not necessary to know the transformation from curved coordinates to use them. They are not always suitable, for example, it is necessary to compute the Riemann tensor in Gauss (e.g. spherical) coordinates in order to obtain the Schwarzschild metric.

== The metric ==

The metric of a euclidean space represents, in the plane, the Pythagorean theorem.

{|align="center" border="0"
|<math>\left. ds^2= dx^2 + dy^2\right. </math>
|}

The metric of a curved surface is, according to Gauss:
{| align="center" border="0"
|
<math>\left. ds^2= g_{xx} dx^2 + 2 g_{xy} dx dy + g_{yy} dy^2\right.</math>
|}

where the gij are the coefficients of the metric. Every curved surface may be approximated, locally, by the osculating paraboloid, becoming the tangent plane z=0 when the principal curvatures kx et ky cancel:
{| align="center" border="0"
|
<math>z= \frac{1}{2}\left(k_{x} x^2 + k_{y} y^2\right) </math>
|}

Indeed, in the frame used, the axes Ox and Oy are in the tangent plane z=0, the origin of the coordinates, x=0, y=0 being at the contact point. The Gauss curvature is, by definition, the product of the principal curvatures:
{| align="center" border="0"
|
<math> K=k_{x}k_{y}= \frac{\partial ^2 z}{\partial x^2} \frac{\partial ^2 z}{\partial y^2} </math>
|}
In order to be in Riemann coordinates, it remains to orientate the axes Ox and Oy in such a manner that the metric be diagonal (the computation is given in <ref name="lire1">Bernard Schaeffer, ''Relativités et quanta clarifiés'', Publibook, 2007</ref>):

{| align="center" border="0"
|
<math>ds^2= dx^2 + \left[1 - K\left( x^2 + y^2\right)\right] dy^2</math>
|}

where K= kxky is the Gaussian curvature. In this expression, we have gxx=1, gxy=0 and
{|align="center" border="0"
|
<math>g_{yy} =1 - K\left( x^2 + y^2\right) </math>
|}
It is not necessary to determine the principal directions to work with the Riemann coordinates since the laws of physics are invariant under a frame change. It is also not necessary to change the scales of the coordinate axes to get a metric with coefficients equal to one. It only assumed that it is always possible to change the coordinates in such a way that the Pythagorean theorem is verified locally, at the contact point, taken as the origin of the coordinates. In Riemann coordinates, all the paraboloids, including the sphere, locally, have the same metric, provided thet have the same Gaussian curvature.

== Riemann tensor ==

Gauss found a formula of the curvature K of a surface with a computation, complicated in Gaussian coordinates but much simpler in Riemannian coordinates where the curvature and the Riemann tensor are equal (in two dimensions):

{| align="center" border="0"
|<math> R_{xyxy}= -\frac{1}{2}\left(\frac{\partial ^2 g_{xx}}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 g_{yy}}{\partial x^2}\right) </math>
|}

Let us check that the Riemann tensor is equal to the total Gauss curvature:

{| align="center" border="0"
|
<math>R_{xyxy}= -\frac{1}{2}\left(\frac{\partial ^2 g_{xx}}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 g_{yy}}{\partial x^2}\right)= 0 -\frac{1}{2}(-2K)=K </math>
|}
We have also, by partial derivation of the coefficients of the metric:

{| align="center" border="0"
|
<math>\frac{\partial ^2 g_{xx}}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 g_{xx}}{\partial y^2}= 0 </math>
|}

The same for gyy

{| align="center" border="0"
|
<math>\frac{\partial ^2 g_{yy}}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 g_{yy}}{\partial y^2}= -4K </math>
|}
We have obtained a Laplace equation and a Poisson equation.

== Einstein equations in vacuum ==

Einstein's hypothesis is that the curvature of space-time is zero in the vacuum which is thus a flat space. This is true in two dimensions where the Gaussian curvature is zero. In higher dimensions, only the Ricci tensor is zero according to the Einstein equation. In matter, the Ricci tensor is different from zero. We shall not consider this case, here, but it should be considered to describe the universe which contains matter.
The Einstein equations are, in the vacuum:

{| align="center" border="0"
|
<math>\left.R_{ik}= 0\right.</math>
|}

Rik is a complicated function of the various componants of the Riemann tensorRijkl and of the metric gik. The Ricci tensor, like the Riemann tensor dépends only on the coefficients of the metric. The Christoffel symbols http://en.wikipedia.org/wiki/Christoffel_symbol are then unnecessary intermediaries. In two dimensions, the Ricci tensor has two components each proportional to the single component of the Riemann tensor. Therefore there is only one Einstein equation in two dimensions:

{| align="center" border="0"
|
<math>\left.R_{xyxy}= 0\right.</math>
|}

In two dimensions and in Riemann coordinates, the Riemann tensor is equal to the Gaussian curvature K, which is zero in the vacuum. Then the coefficients of the metric have to satisfy the Laplace equation Δgxx=0 and Δgyy=0. But, in two dimensions, the Laplace equation diverges unless the coefficients of the metric are constants, corresponding to a pseudo-euclidean space. In three and four dimensions, the Ricci tensor has to be zero, the corresponding space is called Ricci flat. The calculation is too complicated to be given here.

== Gravitational waves ==

Replacing y by ict in the Laplace equation, one obtains the d'Alembert equation of the plane gravitational waves for the coefficients of the metric:

{| align="center" border="0"
|
<math>\frac{\partial ^2 g_{xx}}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2 g_{xx}}{\partial t^2} = 0 </math>
|}

{| align="center" border="0"
|
<math>\frac{\partial ^2 g_{tt}}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2 g_{tt}}{\partial t^2} = 0 </math>
|}

The gravitational waves have not yet been detected.

== Einstein and Newton ==

The two-dimensional Laplace equation may be extrapolated in higher spaces with small curvature. In three dimensions, spherical symmetry and time independent metric, the Einstein equations reduce to the radial laplacian:
{| align="center" border="0"
|
<math> \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dg_{rr}}{dr}\right)= 0 </math>
|}
and for <math> g_{tt}</math>. Its solution is the Coulomb potential in 1/r:

{| align="center" border="0"
|
<math>ds^2= g_{rr} dr^2 - g_{tt} c^2 dt^2= \left(A+ \frac{B}{r}\right) dr^2 -c^2 \left(A'+ \frac{B'}{r}\right) dt^2</math>
|}

The correspondence principle with special relativity will give us the integration constants A and A'. For r=∞, we have:
{| align="center" border="0"
|
<math>ds^2= \left.A dr^2 -c^2 A' dt^2\right.</math>
|}

It should be the Minkowski metric:
{| align="center" border="0"
|
<math>ds^2=\left.dr^2-c^2dt^2\right.</math>
|}
Identifying these two metrics, we get A=A'=1. To obtain B', we apply the correspondence principle with the newtonian gravitation of a light particle on a circular trajectory around a highly attracting star similar to a black hole. Then dr=0, the metric is simplified:

{| align="center" border="0"
|
<math>\left. ds^2= -c^2g_{tt} dt^2 = -c^2\left( 1+ \frac{B'}{R}\right) dt^2\right.</math>
|}
The Minkowski metric may be written
{| align="center" border="0"
|
<math>ds^2=-\left(1 -\frac{v^2}{c^2}\right)dt^2</math>
|}
where v=dr/dt is the velocity of the particle. For a photon, v=c, ds=0: the length of a light trajectory is zero. It is the shortest way possible. Assuming that this remains true in general relativity, we have the condition:

{| align="center" border="0"
|
<math>1+ \frac{B'}{R}=0</math>
|}
which gives R=-B'. The trajectory being a circle and the curvature of space small, we may apply newtonian mechanics. The kinetic energy is equal to the newtonian gravitation potential:
{| align="center" border="0"
|
<math> \frac{1}{2}mv^2=\frac{GM}{R} </math>
|}
where G is the gravitation constant, M the mass of the attracting star and c the speed of light. Replacing R with -B' and v with c, we get:

{| align="center" border="0"
|
<math> B'= -\frac{2GM}{c^2}</math>
|}

According to Einstein, the determinant (or its trace for low gravitation) of the metric should be equal to one. This can be shown by solving the four-dimensional Einstein equations for a static and spherically symmetric gravitational field. Therefore we may write B=-B' and obtain an approximation of the Schwarzschid metric:
{| align="center" border="0"
|
<math>\left. ds^2= \left(1+ \frac{2GM}{c^2r}\right) dr^2 -c^2 \left(1- \frac{2GM}{c^2r}\right) dt^2\right.</math>
|}

This metric gives a light deviation by the sun twice as predicted by the newtonian theory or by the first Einstein theory of 1911 where time is dilated by gravitation. In his 1916 theory, gravitation dilates time and contracts space.
==See also==
Bernard Schaeffer, ''Relativités et quanta clarifiés'', Publibook, paris, 2007.

Section efficace

2018-06-19T19:54:53Z

Jacques Lavau : Page créée avec « ==Rayon nucléaire== Il y a un siècle, Rutherford a envoyé des particules α sur des noyaux d'or. Il a constaté qu'ils étaient réfléchis pour une certaine vitesse lo... »

==Rayon nucléaire==
Il y a un siècle, Rutherford a envoyé des particules α sur des noyaux d'or. Il a constaté qu'ils étaient réfléchis pour une certaine vitesse lorsque l'énergie cinétique est égale à la répulsion électrostatique selon la formule

<tex>E_{cin}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Z_{Au}Z_\alpha e^2}{r}</tex>

Des particules alpha d'énergie cinétique de 5 MeV (soit 15.000 km/s), provenant du radium 226, sont repoussées lorsque l'énergie potentielle atteint 5 MeV. On a aussi
<tex>Z_\alpha=2</tex> et <tex>Z_{Au}=79</tex>

<tex>r=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Z_{Au}Z_\alpha e^2}{E_{cin}}=\frac{9\times 10^9\times 2\times79\times 1.6\times 10^{-19}}{5\times 10^6} = 45\ fm</tex>

Cette distance d'approche est 8 fois la valeur admise actuellement pour le rayon du noyau d'or.

Avec des neutrons et des protons à 14 MeV, on trouve respectivement 7,5 et 2,5 fm.

==Déviation==
L'angle de déviation est, en radians, égal au rapport des impulsions (ou plutôt des rayons?), c'est-à-dire des vitesses ou encore de la racine carrée des énergies.

<tex>\theta=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Z_{Au}Z_\alpha e^2}{E_{cin}R}=\frac{9\times 10^9\times 2\times79\times 1.6\times 10^{-19}}{5\times 10^6\times 2,5\times10^{-15}} = 0,00015^\circ</tex>

en prenant comme rayon du noyau d'or, R=2,5 fm.
A REVOIR

==Section efficace de Rutherford==
L'angle de diffusion θ est donné par la formule du rayon nucléaire légèrement modifiée:

<tex>tg(\frac{\theta}{2})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Z_{Au}Z_\alpha e^2}{2bE_{cin}}</tex>
==Section efficace géométrique==
La section efficace géométrique <tex>\sigma_b</tex> a la dimension d'une surface. C'est la taille transversale surfacique de la particule cible.
Une particule incidente entrant dans cette région est ’diffusée’. Le résultat de l’expérience est la mesure du taux de diffusion Tb (nombre des diffusions par unité du temps).

Admettons que la surface de la cible recouverte par le faisceau a
une taille S, et que la cible est mince, on doit alors avoir
(sbNb)/S= Tb/Ta, où Nb est le nombre de particules cibles dans
la région couverte par la surface S, et Ta est le taux de particules
incidentes sur la même surface. Donc
Ici on montre qu’on peut utiliser soit le flux Fa=Ta/S, qui est le
nombre de particules incidentes par unité de surface et par unité
du temps, si le faisceau est homogène et constant, soit le
nombre de particules de cible par unité de surface (densité de
surface) Sb=Nb/S, dans le cas contraire.

==Section efficace différentielle==
Seule une fraction des diffusions est mesurée. Le taux de diffusions mesuré est proportionnel à la section efficace différentielle <tex>d\sigma</tex>

<tex>\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{r^2}{16sin^4(\frac{\theta}{2})}</tex>

où <tex>\Omega</tex> est l'angle solide et <tex>\theta</tex> l'angle par rapport à la direction du faisceau.

==Section efficace totale==

<tex>\Sigma_T=\pi R^2</tex>

ou <tex>\Sigma_T=2\pi R^2</tex>

C'est le maître-couple de l'aéro-dynamique. Il est constant aux petits angles mais il décroche au-delà de 90° pour une énergie de 22 MeV.

==Section efficace de Mott==
La diffusion d'électrons relativistes renseigne sur l'allure de la densité de charge du noyau. On obtient une généralisation relativiste de la formule de Rutherford tenant compte du recul du noyau:

<tex>(\frac{d\sigma}{d\Omega})_{Mott}=\frac{Z^2e^4 cos^2(\frac{\theta}{2})}{4 p_0^2 sin^4(\frac{\theta}{2})[1+\frac{2p_0}{M}sin^2(\frac{\theta}{2})]}</tex>

Yukawa

2018-06-19T19:52:54Z

Jacques Lavau : Page créée avec « [QUOTE=bjschaeffer;1579003]The Yukawa potential is a solution of the Klein-Gordon equation <tex>(\nabla^{2}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^2}{\partial t^{2}})U(r,t)= \left... »

[QUOTE=bjschaeffer;1579003]The Yukawa potential is a solution of the Klein-Gordon equation

<tex>(\nabla^{2}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^2}{\partial t^{2}})U(r,t)= \left( \frac{2\pi m_0 c}{h}\right)^2 U(r,t)</tex>

Assuming U independent of time, it may be written

<tex>(\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial}{\partial r} \right)U(r)= \left( \frac{2\pi}{\lambda_C}\right)^2 U(r)</tex>

where <tex>\lambda_C</tex> is the Compton wavelength of the particle. The simplest solution is then :

<tex>U(r)=\frac{U_0 e^{2\pi r/\lambda_C}}{r}</tex>

However, this solution is not physical: it is wrong to suppress the time derivative. We have to solve the complete equation with a periodical but stationary potential:

<tex>U(r)=U_0\frac{e^{2\pi r/\lambda_C-i\omega t}}{r}</tex>

The complete equation is:

<tex>(\nabla^{2}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^2}{\partial t^{2}})U(r,t)= \left( \frac{2\pi m_0 c}{h}\right)^2 U(r,t)</tex>

Replacing U we get after simplyfying the time dependent exponential :

<tex>\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial}{\partial r} \right)U(r)= - \left(\frac{\omega^2}{c^{2}} -\left( \frac{2\pi}{\lambda_C}\right)^2 \right)U(r)</tex>

The solution is almost the same as above :

<tex>U(r)=\frac{U_0}{r} e^\sqrt{\left( \frac{2\pi}{\lambda_C}\right)^2-{\frac{\omega^2}{c^{2}}}</tex>

There is a physical solution if :
<tex>\frac{2\pi}{\lambda_C}<{\frac{\omega}{c}</tex>

That is when the solution is imaginary and tending to zero at infinity:[/QUOTE]

[QUOTE=ophase;1550210]Here's the original proof by Yukawa

Yukawa potential <tex>U(r)=\frac{-g^{2}_{s}}{4\pi}\frac{e^{-r/a}}{r}</tex>
gs: Yukawa constant

Yukawa proposed that nuclear force has to be like elektromagnetic force. So the potential above need to satisfy second green equation with a source term:

<tex>(\nabla^{2}-\frac{1}{a^{2}})U(r)=g^{2}_{s}\delta(r)</tex>

Yukawa generalized the equation for non-static states.

<tex>(\nabla^{2}-\frac{d^{2}}{c^{2}dt^{2}}-\frac{1}{a^{2}})U(r,t)=0</tex> (*)

This equation is also relativistical invariant. Then Yukawa quantized the potential:

<tex>U(r)=\frac{-g^{2}_{s}}{4\pi}\frac{e^{ipr/\hbar-iEt/\hbar}}{r}</tex>

Now we put that potential expression in the second green equation (*) and we get:

<tex>\frac{E^{2}}{c^{2}\hbar^{2}}=\frac{p^{2}}{\hbar^{2}}+\frac{1}{a^{2}}</tex>

<tex>E^2 =p^2c^2+\frac{c^{2}\hbar^{2}}{a^{2}}</tex>

Here the last term should be the mass term:
<tex>m^{2}_{u}c^{4}=\frac{c^{2}\hbar^{2}}{a^{2}}</tex>
If we assume a=2 fm, then the exchange particle mass is mu= 100 MeV.

In 1947 Pion discovered at 140 MeV and it's proved that there is no meson in the nucleus according to Yukawa theory.

I don't know the rest of that story. Probably someone made a correction about the calculation above. Any ideas??[/QUOTE]