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La relativité générale est une extension de la relativité restreinte où l'espace-temps pseudo-euclidien de Minkowski est remplacé par un espace-temps pseudo-riemannien, c'est-à-dire courbe. Elle ne s'applique, actuellement, qu'à la gravitation. La métrique peut s'obtenir à partir des équations d'Einstein, abordées ici uniquement dans le cas du vide de matière et d'énergie.

== L'espace-temps courbe ==

La relativité générale est basée sur la notion de courbure de l'espace-temps à quatre dimensions. La courbure est difficile à concevoir et à manipuler, d'autant que la quatrième dimension, le temps, est particulière. Einstein la note ''x<sub>4</sub> = t'' ou ''it''  où ''i'' est le nombre dont le carré vaut moins un. Il est commode de considérer la quatrième dimension comme une dimension d'espace en utilisant (''x,y,z,w&nbsp;=&nbsp;ict''), ''c'' étant la vitesse de la lumière et ''w'' un nombre imaginaire, mais homogène à une longueur.

== Les coordonnées normales de Riemann ==

De même qu'en relativité restreinte, on peut se limiter à deux dimensions, (''x, y&nbsp;=&nbsp;t'') ou, mieux, (''x, y&nbsp;=&nbsp;ict''), ce qui simplifie encore les équations en se ramenant à un espace euclidien (au lieu de l'espace pseudo-euclidien de Minkowski) grâce aux coordonnées de Riemann. Nous utilisons, à l'endroit où nous sommes sur Terre, les coordonnées cartésiennes. Ailleurs nous devons utiliser des coordonnées ayant subi une rotation fonction de la latitude et de la longitude. Il est bien connu que les Australiens ont tête en bas sans être gênés. C'est pourquoi les coordonnées de Riemann sont qualifiées de locales. Les coordonnées de Riemann sont, à peu près, des coordonnées cartésiennes dans le plan tangent à la Terre et, plus généralement à une surface ou un espace courbe.

== La métrique ==

La métrique d'un espace euclidien représente, dans le plan, le théorème de Pythagore sous forme différentielle :

:<math>\mathrm ds^2= \mathrm dx^2 + \mathrm dy^2\,</math>

La métrique d'une surface courbe est, selon Gauss :

:<math>\mathrm ds^2= g_{xx} \, \mathrm dx^2 + 2 g_{xy} \,\mathrm dx \mathrm dy + g_{yy} \mathrm dy^2</math>

où les ''g<sub>ij</sub>'' sont les ''coefficients de la métrique''.

Toute surface courbe peut être approchée localement par le paraboloïde osculateur qui devient le plan tangent ''z&nbsp;=&nbsp;0'' lorsque les courbures principales ''k<sub>x</sub>'' et ''k<sub>y</sub>'' s'annulent :

:<math>z= \frac12 \left(k_{x} x^2 + k_{y} y^2 \right) </math>

En effet, dans le référentiel utilisé, les axes ''Ox'' et ''Oy'' sont dans le plan tangent ''z&nbsp;=&nbsp;0'', l'origine des coordonnées, ''x&nbsp;=&nbsp;0'', ''y&nbsp;=&nbsp;0'' étant le point de contact. La courbure de Gauss est, par définition le produit des courbures principales :

:<math> K=k_{x}k_{y}=   \frac{\partial ^2 z}{\partial x^2} \frac{\partial ^2 z}{\partial y^2} </math>

Pour être en coordonnées de Riemann, il reste à orienter les axes ''Ox'' et ''Oy'' de telle sorte que la métrique soit diagonale (le calcul est donné dans<ref name="lire1">Bernard Schaeffer, ''Relativités et quanta clarifiés'', Publibook, 2007</ref>) :
:

:<math>\mathrm ds^2= \mathrm dx^2 + \left[1 - K\left( x^2 + y^2\right)\right] \, \mathrm dy^2</math>

où ''K&nbsp;=&nbsp;k<sub>x</sub>k<sub>y</sub>'' est la courbure de Gauss. Dans cette expression, on a ''g<sub>xx</sub>&nbsp;=&nbsp;1'', ''g<sub>xy</sub>&nbsp;=&nbsp;0'' et

:<math>g_{yy} =1 - K\left( x^2 + y^2\right) </math>

Il n'est pas nécessaire de déterminer les directions principales pour pouvoir travailler en coordonnées de Riemann car les lois de la physiques sont, par hypothèse, invariantes par changement de référentiel. Il n'est donc pas nécessaire non plus de déterminer les changements d'échelles nécessaires pour obtenir des coefficients de la métrique égaux à un au point de contact entre la surface courbe et le plan de Riemann. On retrouve la métrique euclidienne caractérisée par le théorème de Pythagore pour ''K&nbsp;=&nbsp;0'' mais aussi à l'origine (''x&nbsp;=&nbsp;0'', ''y&nbsp;=&nbsp;0''), quelle que soit la valeur de ''K''. En coordonnées de Riemann, on a la même métrique pour tous les paraboloïdes de même courbure de Gauss, y compris la sphère, approximée localement par un paraboloïde de révolution.

== Le tenseur de Riemann ==

Gauss a trouvé une formule de la courbure ''K'' d'une surface par un calcul assez compliqué mais plus simple en coordonnées de Riemann où elle est égale au tenseur de Riemann qui s'écrit alors, en deux dimensions<ref name="lire1"/>.

:<math> R_{xyxy}=  -\frac12 \left(\frac{\partial^2 g_{xx}}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 g_{yy}}{\partial x^2}\right) </math>

Vérifions, pour le paraboloïde, que le tenseur de Riemann est bien égal à la courbure totale de Gauss ''K'' :

:<math>R_{xyxy}= -\frac12 (0-2K)=K </math>

On a aussi, par dérivation partielle des coefficients de la métrique du paraboloïde :

:<math>\frac{\partial ^2 g_{xx}}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 g_{xx}}{\partial y^2}= 0 </math>

On a bien zéro puisque ''g<sub>xx</sub>&nbsp;=&nbsp;1''. On dérive de même ''g<sub>yy</sub>'' :

:<math>\frac{\partial ^2 g_{yy}}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 g_{yy}}{\partial y^2}= -4K </math>

On obtient une équation de Laplace triviale pour ''g<sub>xx</sub>'' et une équation de Poisson pour ''g<sub>yy</sub>''.

== Les équations d'Einstein dans le vide ==

L'hypothèse d'Einstein est que la courbure de l'espace-temps est nulle dans le vide qui est donc un ''espace plat''. Cela se traduit par l'équation d'Einstein sans second membre. Lorsqu'on applique les équations d'Einstein à l'univers, on doit tenir compte de la présence de matière (étoiles, gaz…), ce qui entraîne un second membre non nul. Dans un espace de dimension supérieure à deux, on doit utiliser le tenseur de Ricci au lieu de celui de Riemann. Les équations d'Einstein s'écrivent, dans le vide :

:<math> R_{ik}= 0 \,</math>

''R<sub>ik</sub>'' est une fonction compliquée des différentes composantes du tenseur de Riemann ''R<sub>ijkl</sub>'' et des coefficients de la métrique ''g<sub>ik</sub>''. Le tenseur de Ricci, comme celui de Riemann ne dépend que des coefficients de la métrique, de sorte que les [[w:symboles de Christoffel|symboles de Christoffel]] sont des intermédiaires superflus. En deux dimensions, le tenseur de Ricci a deux composantes, <math>R_{xx}</math> et <math>R_{yy}</math>, chacune proportionnelle au tenseur de Riemann <math>R_{xyxy}</math>. Il n'y a, en deux dimensions, qu'une seule équation d'Einstein. Pour annuler le tenseur de Ricci, il suffit donc d'annuler celui de Riemann :

:<math>R_{xyxy}= 0\,</math>

Comme, en deux dimensions et en coordonnées de Riemann, le tenseur de Riemann est égal à la courbure de Gauss ''K'', l'équation d'Einstein dit que, en deux dimensions, la courbure est nulle, l'équation de Poisson devient celle de Laplace. Les deux coefficients de la métrique satisfont alors à l'équation de Laplace Δ''g<sub>xx</sub>&nbsp;=&nbsp;0'' et Δ''g<sub>yy</sub>&nbsp;=&nbsp;0''.
On peut donc dire que l'équation de Laplace décrit un espace plat alors que celle de Poisson correspond à un espace courbe. En deux dimensions, l'équation de Laplace diverge à l'infini sauf si les coefficients de la métrique sont constants, c'est-à-dire pour un espace plat. En trois dimensions, ce n'est plus le tenseur de Riemann qui s'annule mais celui de Ricci (espace Ricci-plat). Le calcul est trop compliqué pour pouvoir être présenté ici. En quatre dimensions, il l'est encore plus. Aucun mathématicien ne semble avoir obtenu les équations d'Einstein en coordonnées radiales plus le temps (''r'' et ''t'', sans longitude ''φ'' ni colatitude ''ϑ'' ) comme pour l'équation de Laplace radiale.

== Ondes gravitationnelles ==

En remplaçant ''y'' par ''ict'' dans l'équation de Laplace, on obtient l'équation de d'Alembert des ondes gravitationnelles planes pour les coefficients de la métrique :

:<math>\frac{\partial ^2 g_{xx}(x,t)}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2(x)}\frac{\partial ^2 g_{xx}(x,t)}{\partial t^2} = 0 </math>

:<math>\frac{\partial ^2 g_{tt}(x,t)}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2(x)}\frac{\partial ^2 g_{tt}(x,t)}{\partial t^2} = 0 </math>

Lorsque les ondes gravitationnelles traversent le champ de gravitation d'une étoile, leur vitesse peut changer comme celle des ondes électromagnétiques. Ceci est toutefois du domaine de l'hypothèse car les ondes gravitationnelles n'ont toujours pas été détectées. En quatre dimensions d'espace-temps, on obtient la loi de Laplace relativiste (ou de Poisson relativiste lorsque le second membre est différent de zéro).

== Einstein et Newton ==
===Equation d'Einstein radiale===

On a obtenu une équation de Laplace en deux dimensions à partir de l'hypothèse d'une courbure de Gauss nulle d'un espace à deux dimensions. Le champ de gravitation étant généralement faible, on peut admettre que l'équation de Laplace reste valable en trois dimensions d'espace plus une de temps. Pour retrouver la loi de la gravitation universelle, on utilisera, pour l'espace physique, le laplacien en coordonnées sphériques de symétrie radiale, c'est-à-dire sans longitude ni colatitude. Dans l'hypothèse statique, les coefficients de la métrique sont indépendants du temps, de sorte que les dérivées par rapport au temps disparaissent des équations d'Einstein qui se réduisent à l'équation de Laplace dans l'espace à trois dimensions. En utilisant le laplacien en coordonnées radiales, on se ramène à deux pseudo-dimensions, ''r'' et ''t'' ce qui nous évite l'utilisation du tenseur de Ricci. L'équation d'Einstein en ''r'' s'écrit alors, pour <math>g_{rr}</math> :

:<math> \frac{1}{r^2}\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\left(r^2\frac{\mathrm dg_{rr}}{\mathrm dr}\right)= 0 </math>

et, de même pour l'équation en <math>g_{tt}</math> dont la solution est le potentiel de Coulomb en 1/''r'' avec, en tout quatre constantes d'intégration ''A'', ''A' '', ''B'', ''B' '', à déterminer :

:<math>\mathrm ds^2=  g_{rr} \,\mathrm dr^2 - g_{tt} c^2 \, \mathrm dt^2= \left(A+ \frac{B}{r}\right) \, \mathrm dr^2 -c^2 \left(A'+ \frac{B'}{r}\right) \, \mathrm dt^2</math>

Pour obtenir les constantes d'intégration ''A'' et ''A’'' on applique le principe de correspondance avec la relativité restreinte pour ''r&nbsp;=&nbsp;∞'' :

:<math>\mathrm ds^2= A \, \mathrm dr^2 -c^2 A' \, \mathrm dt^2</math>

===Métrique de Minkowski à l'infini===
On doit retrouver la métrique de Minkowski à l'infini : 

:<math>\mathrm ds^2= -c^2 \, \mathrm d \tau^2= \mathrm dr^2-c^2 \mathrm dt^2</math> 

En identifiant les deux métriques, on a ''A&nbsp;=&nbsp;A'&nbsp;=&nbsp;1''. Comme d''s'' est imaginaire, on préfère souvent utiliser l'intervalle de temps propre d''τ'' au lieu de l'intervalle d'espace-temps d''s''.
===Principe de correspondance===
Pour obtenir ''B’'', on applique le principe de correspondance entre la relativité générale et la loi de la gravitation universelle de Newton. Pour cela considérons un rayon lumineux en rotation autour d'un astre (par exemple un trou noir) suffisamment attractif pour qu'un photon ait une trajectoire circulaire de rayon ''r&nbsp;=&nbsp;R''. Dans ce cas d''r''&nbsp;=&nbsp;0, ce qui simplifie la métrique :

:<math>\mathrm ds^2= -c^2 g_{tt} \, \mathrm dt^2 = -c^2 \left( 1+ \frac{B'}{R}\right) \, \mathrm dt^2</math>

On a d''s''&nbsp;=&nbsp;0 lorsque ''v&nbsp;=&nbsp;''d''r''/d''t&nbsp;=&nbsp;c'' : le chemin utilisé par un photon dans l'espace-temps de Minkowski est nul. On admet que cela reste vrai en relativité générale, ce qui permet d'obtenir la trajectoire du rayon lumineux, qui est courbe et non rectiligne comme en relativité restreinte. On a donc la condition :

:<math>1+ \frac{B'}{R}=0</math>

En mécanique newtonienne, l'énergie cinétique est égale à l'énergie potentielle de gravitation. ''G'' est la constante de gravitation universelle, ''M'' la masse de l'astre attracteur,  ''m'' la masse de l'astre attiré et ''c'' la vitesse de la lumière. On a, dans l'hypothèse newtonienne,

:<math> \frac12  mc^2=\frac{GmM}{R} </math>

En éliminant ''R'' des deux relations précédentes on obtient :

:<math> B'= -\frac{2GM}{c^2}</math>
===Transformation de Lorentz===
En appliquant cette fois la transformation de Lorentz à la chute d'un corps dans un champ de gravitation, la dilatation du temps s'accompagne d'une contraction des longueurs égale, ce qui conduit à prendre <math>B=-B'</math>. La métrique devient une approximation de celle de Schwarzschild en champ faible et en coordonnées sphériques radiales :

:<math>\mathrm ds^2= \left(1+ \frac{2GM}{c^2r}\right) \, \mathrm dr^2 -c^2 \left(1- \frac{2GM}{c^2r}\right) \, \mathrm dt^2</math>

Dans cette métrique, à la fois le temps et l'espace physique sont courbes, d'où le coefficient 2 par rapport à la version de 1911 de la relativité générale où seul le temps était courbe. 

De même que la transformation de Lorentz, les équations d'Einstein peuvent s'écrire en deux dimensions. Elles expriment la nullité de la courbure de Gauss, c'est-à-dire qu'un espace à deux dimensions, vide de matière, ne peut être courbe, l'espace correspondant est plat comme un plan, un cône, une feuille de papier ou encore comme l'espace-temps à deux dimensions de Minkowski. 
===Quatre dimensions===
En quatre dimensions, il n'en est plus de même, le tenseur de Riemann n'est plus nul, c'est le tenseur de Ricci qui l'est; on dit que l'espace est Ricci-plat. Pour obtenir d'autres solutions des équations d'Einstein, comme la métrique de Schwarzschild<ref name="lire1" /> ou celle de Friedmann, on ne peut plus se contenter des coordonnées locales de Riemann car la symétrie sphérique est globale. Il est nécessaire d'utiliser les coordonnées de Gauss, en l'occurrence les coordonnées sphériques en quatre dimensions d'espace-temps ''r'', ''ϑ'', ''φ'', ''t''.<ref name="ref2">[[w:Relativité générale|Relativité générale sur Wikipédia]]</ref>. Les manuels ne donnent généralement du calcul que la marche à suivre.

Dans la matière, comme à l'intérieur de la Terre où s'applique classiquement l'équation de Poisson, les équations d'Einstein ont un second membre. Elles ont pour solution un espace-temps vraîment courbe: le tenseur de Ricci est alors différent de zéro. Les équations d'Einstein avec second membre sont nécessaires en cosmologie, vu que l'Univers n'est pas vide de matière dans son ensemble.

Les calculs présentés ici sont très simplifiés et parfois approximatifs mais ils permettent de comprendre la relativité générale sans avoir à passer par les équations compliquées habituelles.

== Références ==
<references />

[[Catégorie:Relativité générale]]

[[en:Topic:General relativity]]