Syntaxe géométrique de la Physique - Nouvelles pages [fr]

Calcul des coordonnées de gyreur vitesse angulaire

2015-09-18T16:28:02Z

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== Calcul rigoureux (mais trop compliqué) pour le cas du gyreur strict, quotient ==

Le lecteur peut sauter ce paragraphe, et aller directement au suivant.

Feignons d'ignorer tout du calcul matriciel, des représentations matricielles, mais en sachant tout de même la trigonométrie.

[[Fichier:Mvmt_circ.gif]]

Désignons par <math>\theta</math> l'angle (quelconque) de <math>\vec R</math> avec l'axe des x. Alors les coordonnées de <math>\vec R</math> sont R cos<math>\theta</math> , et R sin<math>\theta</math> (et zéro, si l'on s'encombre dès maintenant de la 3e dimension).

Tandis que les coordonnées de <math>\vec V</math> sont : V cos(<math>\theta</math> + <math>\pi</math>/2) et V sin (<math>\theta</math>+ <math>\pi</math>/2)

(signe +, car rotation dans le sens direct, pour des axes orientés de même). Exprimons les quatre quotients.

Mimant l'ignorance totale, nous allons même ignorer qu'il est plus pratique de les ranger en tableau carré. Rangeons donc provisoirement en ligne les quatre influences-d'une-coordonnée-de-R-sur-une-coordonnée-de-V (les signes affectant des valeurs absolues, dépendent évidemment du signe de la rotation, par rapport à l'orientation des axes de coordonnées) :

{| border="3"
! de Rx vers Vx
! de Rx vers Vy
! de Ry vers Vx
! de Ry vers Vy
|-----
| V/R tg <math>\theta</math>
| V/R
| -V/R
| V/R cotg <math>\theta</math>
|-----
|}

Premier mouvement de panique : Ces coefficients sont trop compliqués ! Mais remarquons que ces coefficients sont deux à deux redondants, et que si nous les appliquons simultanément, nous obtiendrons à chaque instant le double de la vitesse <math>\vec V</math>.

Vx = ½ V/R (+ Rx tg <math>\theta</math> - Ry )

Vy = ½ V/R (+ Rx + Ry cotg <math>\theta)</math>

Nous avons intérêt à scinder ces coefficients en deux groupes, dont chacun est suffisant :

{| border="3"
! de Rx vers Vx
! de Rx vers Vy
! de Ry vers Vx
! de Ry vers Vy
|-----
| 0
| V/R
| -V/R
| 0
|-----
| V/R tg <math>\theta</math>
| 0
| 0
| V/R cotg <math>\theta</math>
|}

Or, seul le groupe de la première ligne a la propriété d'être invariant envers <math>\theta</math>. Lui seul donc est digne de représenter l'être physique "vitesse angulaire de rotation", qui lui, est un invariant quel que soit <math>\theta</math>. Le second groupe conviendrait pour décrire une oscillation harmonique droite. Ici ce n'est qu'une fausse solution, proposée par notre mathématisation : un groupe non faux, mais sans intérêt, et affligé de discontinuités rédhibitoires pour <math>\theta</math> = <math>\pi</math>/2 + k<math>\pi</math>. Une autre façon équivalente, d'apparence plus rigoureuse, est de faire la moyenne des coefficients trouvés, en faisant varier <math>\theta</math> de 0 à 2<math>\pi</math>. Les termes en tg <math>\theta</math> et cotg <math>\theta</math> s'annulent en moyenne. Ce qu'il fallait démontrer. Il ne reste plus au lecteur, qu'à se convaincre de l'intérêt de disposer ces quatre coefficients retenus, sous la forme d'un tableau carré, au lieu de les entasser en ligne.

== Calcul simplifié ==

Il nous suffit de sélectionner deux positions du vecteur <math>\vec R \hspace{8}=\hspace{8} \vec{OM}</math>

Il est judicieux de prendre deux positions orthogonales entre elles : successivement <math>\vec{OM}</math> selon l'axe Ox, puis selon l'axe Oy, et de résoudre le système de 2 équations. On pose les vecteurs sous forme colonne.

[[Fichier:Cercle_trigo_omega.gif]]

R11 = R 
R12 = 0 (1ère coordonnée du 2e vecteur) 
R21 = 0 (2ème coordonnée du 1er vecteur) 
R22 = R 

V11 = 0 
V12 = -V (1ère coordonnée du 2e vecteur) 
V21 = V (2ème coordonnée du 1er vecteur) 
V22 = 0 

On résout le système suivant, où les coordonnées de <math>\breve\omega (\alpha,\hspace{5} \beta,\hspace{5} \delta\hspace{5} \eta)</math> sont les inconnues :

<math>\omega.\left(\begin{array} \alpha & \beta \\ \delta& \eta \end{array}\right). R.\left(\begin{array} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\hspace{5}=\hspace{5} \omega R.\left(\begin{array} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \hspace{5}=\hspace{5} V. \left(\begin{array} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)</math> (produit matriciel, ordinaire)

D'où la solution : (coordonnées de <math>\breve\omega) = \omega.\left(\begin{array} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)</math>

On remarque qu'en repère orthonormal, les coordonnées mixtes se comportent comme des coordonnées homogènes, et sont sagement antisymétriques. Il ne reste bien qu'une seule coordonnée stricte non nulle. En repère non orthonormal, il faut revenir à la discipline de base, et n'antisymétriser que des coordonnées homogènes : entièrement covariantes, ou entièrement contravariantes. Nous y reviendrons. Mais attention à un oubli qui pourrait nous coûter cher ultérieurement : le gyreur <math>\breve\omega</math> ne caractérise la rotation que du seul point de vue différentiel. A lui seul, il perd une constante d'intégration capitale : le sous-espace invariant. C'est à dire le centre de rotation dans le plan, ou l'axe de rotation dans l'espace R3. Souvenons-nous en quand nous étudierons le moment angulaire.

Piste d'essais

2015-09-18T13:04:07Z

Jacques Lavau : Page créée avec « Bonjour. Vous êtes sur une '''piste d'essai'''. Elle est destinée à vous aider à vous familiariser avec le système de création et modification d'articles du Wiki '... »

Bonjour. Vous êtes sur une '''piste d'essai'''.

Elle est destinée à vous aider à vous familiariser avec le système de création et modification d'articles du Wiki '''Syntaxe géométrique de la physique''' (n'hésitez pas à consulter le [http://meta.wikimedia.org/wiki/Aide:Contenu '''Manuel Utilisateur en français''']). Ici vous pouvez faire tous les tests que vous voulez. Il suffit de cliquer sur le lien « modifier » qui se trouve en haut de la page, de taper vos modifications et de cliquer sur « sauvegarder ».

Surtout, ne vous inquiétez pas si vous massacrez ou effacez en entier cette page : nous passerons derrière vous pour la remettre en ordre.

Bien sûr, vous pouvez aussi modifier cet en-tête à tout moment.

== Titre de deuxième niveau ==
Une liste :
* Un lien interne direct: [[Special:Recentchanges]]
* ''italiques''
* '''gras'''
* '''''gras italiques'''''
* Et ca marche avec les apostrophes : l''''automne''' sera pluvieux !
On numérote '''une''' liste ?
# Pourquoi pas ?
# Je veux bien !
# C'est facile...

----
----

=== Troisième niveau : comment utiliser les indices ===
Du texte normal peut contenir un indice pour des notations. 
On utilise simplement des balises html pour cela : <nowiki>un indice</nowiki>.

==== Quatrième niveau de titre : et maintenant les exposants ====
Du texte normal peut contenir aussi un exposant. 
On utilise simplement des balises html pour cela : <nowiki>un exposant</nowiki>.

===== Cinquième niveau de titre =====
Pour passer au paragraphe suivant, il faut laisser une ligne blanche.
Ici, on est toujours dans le même paragraphe.

héhé

Et hop, voici le nouveau paragraphe, c'est facile !

====== Sixième (et dernier) niveau de titre ======
Normalement, ça doit suffire pour découper un article en détail.

== Et pour les tableaux... ==
{| border="3"
|+ Titre du tableau
! colonne 1
! colonne 2
|-----
| On peut aussi
| faire des tableaux
|-----
| c'est bien pratique
| pour présenter des données chiffrées
|}

Voici un prototype réutilisable de tableau à trois colonnes, quatre lignes d'items :
{| border="3"
|+ Quelles sont les grandeurs physiques qui sont vectorielles ?
! Nature de la grandeur
! Unité S.I.
! Monôme dimensionnel
|-----
|
|
|
|-----
|
|
|
|-----
|
|
|
|-----
|
|
|
|-----
|}

== Et pour les images... ==

Dans une précédente version de ce wiki, le seul cas possible ici était d'avoir déjà présente sur un serveur toujours accessible, l'image voulue, à la taille voulue. Vous n'aviez alors qu'à écrire son adresse url, comme ceci :

http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/civilisation_feminineR.jpg

Avec la nouvelle version, vous téléchargez l'image dans le wiki, puis l'invoquez en encadrant son nom par
[[image: 
et par ]] 

Résultat : 
[[image:civilisation_feminineR.jpg]]

== Ecritures mathématiques en LaTeX ==

Michel Talon a écrit, et je voulais en voir la réalisation en LaTeX :
<math>\oint p_k dq_k = n_k h</math>

<math>\sqrt 2</math>

<math>\frac 1 {\sqrt 2}</math> <math>\frac 3 {\sqrt 2}</math> <math>\frac {\sqrt 2} 3</math>

<math>\left(\frac 3 {\sqrt 2}\right)</math> <math>\left(\frac {\sqrt 2} 3\right)</math>

<math>\left(\frac 3 {\sqrt 2}\right)^2</math> <math>\left(\frac {\sqrt 2} 3\right)^2</math>

<math>\leq</math>

<math>\neq</math>

<math>\in</math>

Cross product : <math>\times</math>

Produit tensoriel : <math>\otimes</math>

Produit tensoriel symétrisé : <math>\vee</math>

Produit tensoriel antisymétrisé : <math>\wedge</math>

== Calcul d'interception par des molécules de gaz. ==

Objection : ce calcul de sensibilité ne sert à rien, on a besoin du calcul de saturation, or les données rassemblées ne le permettent pas. On aura de meilleurs chances avec l'absorption atmosphérique par le dioxyde de carbone ou l'ozone.

Précisons ce calcul de section géométrique de calcul : 
Les seuils de tolérance sont fixés à 25 ppm ou 29 mg/m3, en atmosphère normale. Mettons-nous à la place de l'ingénieur de production, et en amont des ingénieurs d'études : vont ils acheter un appareil qui ne les prévient que lorsque la teneur en CO impose d'évacuer l'usine ? Ils vont exiger d'être avertis dès la ppm, ou la demi-ppm. 
Comptons que le canal de détection par aspiration d'atmosphère est large de 20 cm, et que cela est la longueur du faisceau lumineux détectant l'absorption par le monoxyde. 
Comptons que le faisceau lumineux, entre une lentille qui le rende parallèle depuis le filament de la lampe à incandescence jusqu'au détecteur sensible, fasse 1 cm2 de section. Il contient alors 20 cm x 1 cm2 x 6,203 x 1023 / 22,4 dm3 molécules de gaz.
Soit 358 x 1018 molécules. 
Dont 3,58 x 1014 molécules de monoxyde par ppm. 
Toutes les orientations dans l'espace de ces molécules sont possibles, mais seules une minorité d'entre elles ont une orientation transversale au faisceau lumineux, leur permettant de capturer un photon. Soyons généreux, un tiers, soit 1,2 x 1014 molécules de monoxyde efficaces en absorption par ppm. 
Chaque molécule transversale intercepte géométriquement sur une aire de 138 x 10-21 mètre carré. 
Toutes ensemble, cela fait une aire interceptrice de 6,19 cm2 pour 25 ppm.

Aide

2015-09-18T13:03:41Z

Jacques Lavau : Page créée avec « Si vous souhaitez contribuer dans cet espace collaboratif, vous pouvez consulter le [http://meta.wikimedia.org/wiki/Aide:Contenu <big>'''Manuel Utilisateur en français''... »

Si vous souhaitez contribuer dans cet espace collaboratif, vous pouvez consulter le
[http://meta.wikimedia.org/wiki/Aide:Contenu <big>'''Manuel Utilisateur en français'''</big>]

Vous pouvez aussi consulter l'aide sur la syntaxe Wikipedia :
[http://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Syntaxe '''Syntaxe''']

Une page a été préparée pour vous guider dans vos essais, en vous donnant les exemples dont vous aurez besoin pour l'organisation de la page et de ses styles : [[piste d'essais]]. Elle peut vous servir de brouillon pour votre propre page. Il vous suffira de copier-coller ensuite vers la page véritable.

Pour d'autres documentations en anglais :
Please see [http://meta.wikipedia.org/wiki/MediaWiki_i18n documentation on customizing the interface]
and the [http://meta.wikipedia.org/wiki/MediaWiki_User%27s_Guide User's Guide] for usage and configuration help.

Accélération de Coriolis et inertie

2015-09-18T13:02:17Z

Jacques Lavau : Page créée avec « == Etat des lieux, un naufrage pédagogique en standard == Un échec pédagogique sanglant : comment les autres professions, utilisatrices de mécanique, et les vulgarisat... »

== Etat des lieux, un naufrage pédagogique en standard ==
Un échec pédagogique sanglant : comment les autres professions, utilisatrices de mécanique, et les vulgarisateurs enseignent Coriolis et ses effets en océanographie et en météorologie.

Voyons un exemple éduqué, par quelqu'un qui a fait des études supérieures : 
http://archimer.ifremer.fr/doc/1960/publication-4282.pdf 
Citation de: Charles ALLAIN

Nous savons en effet que d'une façon générale, un courant qui passe sur un haut fond 
augmente de vitesse en s'infléchissant vers la droite sous l'effet de l'accélération de 
Coriolis, tandis que sa vitesse diminue au-dessus des plus grands fonds, le mouvement 
étant alors dévié vers la gauche.

Si ça c'est ce qu'écrit un scientifique formé, mais pas à la mécanique, alors mieux vaut vous passer sous silence les torrents d'insultes et d'inepties que nous lancent les populistes ignorants, c'est à vomir. Revenons aux affirmations de ce Charles Allain.

Précisons qu'il s'agit des courants en Méditerranée, donc il est acquis que c'est entièrement dans l'hémisphère Nord. 
L'affirmation "''le courant est dévié vers la gauche en passant sur les grandes profondeurs''" est fausse, contrafactuelle. 
Mais l'affirmation précédente, qu'un courant ''s'infléchisse vers la droite sous l'effet de l'accélération de Coriolis'' est contradictoire avec les définitions, et est caractéristique d'un enseignement de la mécanique sous monopole de matheux, qui ''crassussent'' (recopient) ''bovinement'' les errements du plus ancien dans le grade le plus élevé, qui lui-même les tenait de, etc.

L'accélération de Coriolis, c'est celle qu'une liaison de guidage impose à un mobile pour qu'il ne suive pas une trajectoire inertielle, mais demeure sur une trajectoire orthodromique, celle qui semblait irréprochable à l'observateur qui ignore que la Terre tourne, et n'est donc pas un repère galiléen. 
Tandis qu'une trajectoire inertielle échappe au contraire à l'accélération de Coriolis, et s'infléchit par rapport à l'orthodromie terrestre : elle s'infléchit en tournant non pas comme la Terre par rapport au ciel, mais comme la voûte céleste par rapport à la Terre. Tel est le cas d'une chute libre à l'équateur : il y a conservation de la composante Est de la quantité de mouvement, mais diminution du rayon de giration, donc augmentation de la vitesse angulaire et déviation vers l'Est, à l'Est de la verticale locale statique. La courbure de la trajectoire apparente (terrestre) du mobile est conforme à celle de la trajectoire apparente des étoiles pour l'observateur terrestre.

Les matheux n'aident pas quand ils donnent la formule avec deux produits "''vectoriels''", où par deux fois intervient une convention arbitraire et anti-physique, genre :

l'accélération de Coriolis : <math>2\vec{\Omega}\wedge\frac{\delta\vec{r}}{\delta t}</math>

Le grand public sait dans quel sens tourne la Terre par rapport au ciel, mais ignore si les matheux qui remplacent cet être de rotation par un être vectoriel, font pointer le dit vecteur vers le pôle Nord ou vers le pôle Sud, et ignorent aussi dans quel sens orienter l'accélération qui résulte de ce produit aberrant. Pile ou face, c'est aussi sûr.

== Réécriture en notations cohérentes (tensorielles, donc). ==

Telles qu'on les trouve dans tout manuel, les définitions et notations usuelles sont fort critiquables, et pédagogiquement manquent leur but. De plus la notation franco-française <math>\wedge</math> squatte la notation du produit extérieur pour dénoter en réalité le produit "''vectoriel''", ou "''cross-product''" des anglo-saxons. Au grand dam de la clarté et de la rigueur.

Pour le grand public, il est inextricable de deviner dans quel sens va agir ''l'accélération de Coriolis'' (pile ou face est aussi fiable) ni ce qu'elle est au juste, et dans la littérature de vulgarisation les erreurs sont fréquentes.

Or ces mathématiques obscures - de surcroît sur bases incohérentes - sont assez superflues puisque dans quatre cas sur six le principe général de conservation du moment angulaire suffit à prédire les trajectoires inertielles réelles, par rapport au repère terrestre. Pour les deux cas non couverts par la conservation du moment angulaire, c'est la composition des vitesses angulaires qui donne la réaction d'inertie centrifuge corrigée. Il va suffire de prendre le référentiel terrestre, d'examiner deux situations, l'une à l'équateur, l'autre près du pôle Nord, et les trois directions de vitesse : vers le bas, vers le Sud, vers l'Est. Puis il ne restera plus qu'à résumer cela mathématiquement.

=== A l'équateur ===
Chute verticale, donc diminution du rayon, augmentation inversement proportionnelle de la vitesse angulaire totale pour maintenir le moment angulaire constant, si la chute est non contrainte ==> déviation vers l'Est. 
Vitesse vers le Sud : effet nul. 
Vitesse vers l'Est : augmentation de la vitesse angulaire totale ==> déviation vers le haut (par inertie centrifuge accrue). 
A la limite, regarder les satellites géostationnaires. 

=== Près du pôle Nord ===
Chute verticale : effet nul. 
Vitesse vers le Sud : augmentation du rayon, donc ralentissement de la rotation pour maintenir le moment angulaire constant, déviation vers l'Ouest. 
Vitesse vers l'Est : augmentation de la vitesse angulaire totale ==> déviation vers le Sud (par inertie centrifuge accrue). 

Conclusion : seules comptent les composantes tangentielle et radiale de la vitesse du mobile. L'effet de la composante axiale est nul. Il reste à quantifier cela.

=== Calcul quantitatif ===
Il semble que des lecteurs aient des difficultés avec ce coefficient 2, en provenance du développement du carré d'une somme, d'où la période de parcours de cercle inertiel de 11 h 58 mn à la limite des hautes latitudes et basses vitesses, soit la moitié de la période stellaire de la Terre, ce qui ne manque pas de surprendre.

==== Vitesse tangentielle ====

Commençons par le cas facile, de la vitesse Est-Ouest, où les vitesses angulaires, de la Terre et du mobile par rapport à la Terre sont coplanaires, donc s'ajoutent algébriquement. On va les noter par une seule lettre chacune, <math>\Omega</math> et <math>\omega</math>, et en module seulement. 
Vers l'Ouest : 
<math>\Omega_{total}^2 = (\Omega - \omega)^2 = \Omega^2 - 2.\Omega.\omega + \omega^2</math>. 
Vers l'Est : 
<math>\Omega_{total}^2 = (\Omega + \omega)^2 = \Omega^2 + 2.\Omega.\omega + \omega^2</math>. 
Donc ne considérer que le premier terme du développement limité, en <math>2.\Omega.\omega</math>, n'est valide que jusqu'à <math>\omega</math> valant 8 à 10 % de <math>\Omega</math>. C'est donc très vite invalide pour un missile, un obus, une balle de mousquetterie, et d'autant plus que la latitude est élevée.

==== Vitesse radiale ====

A la distance r de l'axe polaire, une vitesse radiale de dr/dt modifie le moment angulaire, ce qui non seulement modifie l'accélération centripète imposée par la liaison, mais aussi exige une intervention tangentielle par le système de guidage, pour augmenter (dr/dt > 0) ou diminuer (dr/dt < 0) le moment angulaire et l'énergie cinétique du mobile. 
Notons A le quotient du moment angulaire initial par la masse du mobile : r².<math>\Omega</math>. 
A' le moment angulaire massique final = (r+dr)².<math>\Omega</math>, 
A'-A = <math>\Omega</math>.(2.dr +dr²) =2.<math>\Omega</math>.dr. 
Cette différence a été obtenue par le moment moyen de l'accélération de Coriolis, durant le temps dt : <math>\gamma_C.r.dt</math> 
D'où <math>\gamma_C = 2.\Omega.\frac{\delta{r}}{\delta t}</math>, avec le signe + vers l'Est pour dr/dt > 0. 

=== Mise en forme mathématique tensorielle ===

Accélération de Coriolis imposée par les liaisons (de guidage) avec le repère non galiléen en rotation : <math>\vec{\gamma_C}= 2\breve{\Omega}.\frac{\delta\vec{r}}{\delta t}</math> 
(où <math>\breve{\Omega}</math> désigne la vitesse angulaire de la Terre par rapport aux étoiles fixes, et <math>\vec{r}</math> désigne la position dans le repère
terrestre, donc <math>\frac{\delta\vec{r}}{\delta t}</math> désigne sa vitesse dans le repère terrestre) et elle est mesurée avec un accéléromètre qui soit assez sensible pour les conditions expérimentales choisies. Pourquoi le coefficient 2 ? Parce qu'on développe le carré d'une somme de vitesses angulaires, et que l'accélération centripète en mouvement circulaire (à trajectoire contrainte, donc) est proportionnelle au carré de la vitesse (totale).

Alors qu'au contraire le mouvement inertiel libre tourne '''par rapport au repère terrestre''' comme la voûte du ciel par rapport à la Terre, et il se constate avec des bouées dérivantes dans la mer, ou des ballons-sondes dérivants, dans l'atmosphère.

== Calculs explicites en coordonnées cartésiennes ==

=== Choisir un système d'axes. ===

Il semble naturel de prendre pour axe z un zénith à un pôle. Quel pôle, Sud ou Nord ? Aucune espèce d'importance : les coordonnées du gyreur vitesse angulaire de la Terre n'en seront pas affectées.
Prenons le zénith Nord, puisque la majeure partie de la population est dans l'hémisphère Nord. 
Pour axe x, évidemment la direction du méridien zéro de Greenwitch. 
Pour axe y, 90° Est ou 90° Ouest ? Plouf-plouf ! 
Choisissons y dans les fuseaux horaires croissants, le fuseau + 6 qui passe par le Bengla Desh, donc 90° Est. 
Ce trièdre Oxyz est-il direct ou pas ? On s'en fout, on n'est plus dirigés par Oliver Heaviside.

=== Coordonnées dans ce système d'axes ===

Quel est le module du tenseur (= ici "gyreur") vitesse angulaire de la Terre ? 
<math>\Omega</math> = 1 tour par jour sidéral = 1 tour / 86164,09 secondes = 72,92 micro-radian/seconde, de nos jours. 
Ses coordonnées dans ce repère : <math>\Omega.\begin{bmatrix}0 &1 &0\\-1 &0 &0\\0 &0 &0 \end{bmatrix}</math>

Application à une vitesse de 1 m/s en direction y :

Coordonnées de <math>\vec{\gamma_C}</math> dans cette base = <math>2.\Omega.\begin{bmatrix}0 &1 &0\\-1 &0 &0\\0 &0 &0 \end{bmatrix}. \begin{bmatrix}0 \\1 \\ 0 \end{bmatrix} m.s^{-1} = 145,84. 10^{-6}.\begin{bmatrix}-1 \\0 \\ 0 \end{bmatrix} m.s^{-2}</math>

Et pour une vitesse de 1 m/s en direction x :

Coordonnées de <math>\vec{\gamma_C}</math> dans cette base = <math>2.\Omega.\begin{bmatrix}0 &1 &0\\-1 &0 &0\\0 &0 &0 \end{bmatrix}. \begin{bmatrix}1 \\0 \\ 0 \end{bmatrix} m.s^{-1} = 145,84. 10^{-6}.\begin{bmatrix}0 \\1 \\ 0 \end{bmatrix} m.s^{-2}</math>

Telles sont les accélérations de Coriolis imposées par les liaisons de guidage liées à la Terre, pour imposer au mobile une trajectoire non inertielle. On aura remarqué qu'elles sont indépendantes de la position du mobile.

On aura remarqué que l'unité physique "radian" a disparu des notations tensorielles, puisque sa signification "quotient de deux longueurs perpendiculaires, ou de deux grandeurs en quadrature de phase" est directement prise en compte par l'écriture complète des coordonnées.

On aura remarqué aussi que les coordonnées selon z ne sont jamais intervenues. Seule intervient la projection du vecteur vitesse dans la direction de plan équatorial xy. Le gyreur <math>\breve\Omega</math> et l'accélération <math>\vec{\gamma_C}</math> sont toujours dans la direction du plan équatorial.

== Application aux courants de la Méditerranée ==

Lien pour les documents :
http://e-cours.univ-paris1.fr/modules/uved/envcal/html/oceans/2-exemples-phenomenes-physiques/tsm-courants-marins-surface/2-2-circulation-oceanique-mediterranee.html

La grande complexité se réduit à trois principes simples : 
a. Le moteur est Gibraltar : entrée d'eaux Atlantiques de surface pour compenser l'évaporation méditerranéenne. 
b. Le jet ENE (Est-Nord-Est) imposé par la côte de Ceuta et la pointe Almina, s'infléchit vers le Sud, en partie par inertie, dite "Coriolis" par le discours dominant, en partie aussi par rencontre avec le courant côtier SW qui revient par la côte de Murcie. Il bute alors sur la côte marocaine, et est contraint par la côte du Maghreb d'une part, puis par la côte Levantine, puis par la côte turque, d'autre part par les côtes siciliennes, puis italiennes, puis françaises et espagnoles à subir l'accélération de Coriolis, à longer les côtes. 
c. Dans le détail interviennent les lois ordinaires de la circulation turbulente, avec contre-courants dans les criques et les golfes ; ce que connaissent tout kayakiste et tout canoéiste pratiquant l'eau vive, et que les marins connaissent aussi dans le golfe du Morbihan, et dans les rias et abers bretons. 

http://e-cours.univ-paris1.fr/modules/uved/envcal/html/oceans/2-exemples-phenomenes-physiques/tsm-courants-marins-surface/ressources/images/carte_courants.jpg

== Le rayon de courbure de ces trajectoires inertielles. ==

On aura remarqué que le ratio entre l'accélération transverse de Coriolis et la vitesse est une constante. 
Ce qui implique, au moins pour les hautes latitudes où la surface terrestre diffère peu d'un disque tournant, que la trajectoire inertielle (échappant à Coriolis donc, et semblant à l'observateur terrestre obéir à une accélération opposée à celle de Coriolis) est circulaire. De quel rayon ? 
La formule ne nous donne d'abord que la période de bouclage de ce cercle ou quasi-cercle, dans l'approximation circumpolaire, et limité au cas des vitesses angulaires ajoutées faibles devant la vitesse angulaire de la Terre : 
T = <math>\frac 1 \nu = \frac {2.\pi} \omega = \frac \pi \Omega</math> = 11 heures 58 minutes. 
Il est remarquable que cette période ne dépend pas de la vitesse. Autrement dit des masses d'air ou d'eau auront sous cet effet d'inertie, dit Coriolis, des déplacements similaires à des rotations de solides : tout le monde a la même vitesse angulaire, donc la même période de révolution. Aux limites près, évidemment.

Sachant la vitesse v, on en déduit le rayon : 
R = <math>\frac v {2\Omega}</math>

=== Extension à toutes latitudes, dans un cadre météorologique. ===

On admettra qu'en météorologie, et presque aussi bien en océanographie, la liaison au sol par la gravité est holonome, ne travaille pas, ne frotte pas... Les déplacement ne se font que parallèlement au sol, que nous idéaliserons comme sphérique, voire géoïdal. Seule la projection des accélérations de Coriolis sur l'horizontale locale est efficace, de module <math>2.\Omega.v.sin(\phi)</math>, où <math>\phi</math> est la latitude.

A toute vitesse, ce rayon de courbure devient infini à l'équateur : 
<math>R(\phi) = \frac v {2\Omega.sin(\phi)}</math>

La période aussi augmente comme la cosécante de la latitude : 
<math>T(\phi) = \frac {11 h 58'}{sin(\phi)}</math>

=== Exercice : ===

Si l'on vous dit que la veine de courant jaillissant du détroit de Gibraltar a une vitesse de 1 noeud, calculer le rayon de courbure que l'inertie seule lui ferait prendre dans la mer d'Alboran, sans autres contraintes aux limites, pour le ramener à longer les côtes marocaines. Ce sera de toutes façon un ordre de grandeur valide. 
Approximation : 1 noeud = 0,514 m/s. 
Latitude : 36° N.

Métrique des grandeurs vectorielles en physique

2015-09-18T13:00:47Z

Jacques Lavau : Page créée avec « Prérequis : Les grandeurs physiques Vecteurs, définition, propriétés = Module d'un vecteur. Contracté du produit intérieur, ou produit scalaire... »

Prérequis : 
[[Les grandeurs physiques]] 
[[Vecteurs, définition, propriétés]] 

= Module d'un vecteur. Contracté du produit intérieur, ou produit scalaire =

== Module d'un vecteur ==

=== Définition ===

Le "module" (ou "norme", ou "longueur" chez E. Cartan), généralise la longueur, pour toutes les sortes de vecteurs. Pour un vecteur de déplacement, dans l'espace euclidien de notre expérience courante, ce module est exactement la longueur du bipoint, mesurée avec un double-décimètre. 
Le module exprime ce qui est invariant envers l'orientation par rapport aux axes de coordonnées.
Plus généralement, le module satisfait aux trois axiomes des normes:

<math>\left\| \lambda \vec V \right\| = \left|\lambda\right\|. \left\| \vec V \right\| </math> pour tout <math>\lambda</math> réel (ce qui implique : <math>\left\| \vec 0 \right\|</math> = 0). 

<math>\left\| \vec {V_1} + \vec {V_2} \right\| \le \left\|\vec {V_1}\right\| + \left\| \vec {V_2} \right\| </math>, inégalité triangulaire. 

Ces deux premiers axiomes sont aussi remplis par les pseudo-normes, des espaces pseudo-euclidiens, tels
l'espace de Minkowski. L'axiome suivant est caractéristique des vraies normes :

<math>\left\| \vec V \right\| \gt 0 </math> pour tout vecteur non nul.

La physique exige de plus que l'expression analytique de ce module, donne un résultat intrinsèque
indépendant du choix des coordonnées, et des unités. Un résultat invariant, ni covariant, ni contravariant,'''INVARIANT'''. Le module d'un vecteur physique n'est donc pas un simple nombre, mais est une grandeur physique. Il a donc une unité physique, par exemple des mètres. Pendant très longtemps, les conséquences de cette exigence basique n'ont pas été perçues.

=== Calcul du module d'un vecteur ===

==== Calcul en dimension 1 : le long d'une droite. ====
Il nous suffit de savoir le module du vecteur unité, <math>\left\| \vec j \right\| </math>, car <math> \vec V </math> = v.<math> \vec j </math>, donc <math>\left\| \vec V \right\| = v . \left\| \vec j \right\|</math>. 
Si on change d'unité, par exemple en prenant 100 fois plus petit, la coordonnée v devient 100 fois plus grande, pour maintenir l'invariance de ce qui est représenté, envers le mode de représentation.

==== Calcul en dimension 2 : sur un plan. ====

'''Cas ultra-simplifié: le repère est orthonormal'''. 
Autrement dit <math>\left\| \vec j \right\| = \left\| \vec k \right\|</math>, et ces deux vecteurs sont perpendiculaires. 
On peut alors utiliser le théorème de Pythagore, sans précautions.
<math>\vec V = V_j \vec j + V_k \vec k</math> 

On exprime ces coordonnées en fonction de l'angle du vecteur V avec les axes, par son module multipliant les sinus et cosinus. Or l'exigence d'invariance du résultat envers ces angles avec le repère n'est satisfaisable que par la somme du carré du cosinus et du carré du sinus. Il en résulte au final que : 

<math>\left\| \vec V \right\| = v. \sqrt{cos^2 \theta + sin^2 \theta} . \left\| \vec j \right\| = v.\left\| \vec j \right\| = \sqrt{V_j^2 + V_k^2}.\left\| \vec j \right\|</math>

'''Cas moins simple: le repère est orthogonal.''' 
Les deux vecteurs <math>\vec j</math> et <math>\vec k</math> sont perpendiculaires, mais leurs modules ne sont pas égaux. 
Ce cas est courant sur les cartes de géographie, ou pour le repérage d'un avion en vol : les distances au sol sont en kilomètres, et l'altitude est en mètres. 
Résultat final : 
<math>\left\| \vec V \right\|^2 = V_j^2 .\left\| \vec j \right\|^2 + V_k^2 .\left\| \vec k \right\|^2</math>

'''Cas général en base quelconque ?''' 
Il faudra aussi tenir compte des angles entre eux des vecteurs de la base, donc construire explicitement le tenseur métrique de cette base. Nous y reviendrons.

==== Calcul en dimension 3 et plus : sur un l'espace ordinaire, l'espace-temps de Minkowski, etc. ====
Rien de nouveau : on ajoute un troisième terme en dimension 3, un quatrième terme en dimension 4, etc.

Par exemple en repère orthogonal, en dimension 3 :

<math>\left\| \vec V \right\|^2 \hspace{10}=\hspace{10} V_j^2 .\left\| \vec j \right\|^2 + V_k^2 .\left\| \vec k \right\|^2 + V_l^2 .\left\| \vec l \right\|^2</math>

== Le produit scalaire de deux vecteurs (produit intérieur, contracté). ==

=== Définition. ===

Pour tenir la route, la définition doit être donnée en grandeurs physiques, en non en coordonnées. En effet,
les coordonnées n'ont de signification qu'à partir des propriétés des vecteurs de base.

<math> \vec {V_1} . \vec {V_2} = \left\| \vec {V_1} \right\| . \left\| \vec {V_2} . cos(V_1; V_2)\right\|</math>
, où <math>\left\| \vec {V_1} \right\|</math> désigne la longueur, ou le module, du vecteur <math>\vec {V_1}</math> 

Cette définition est intrinsèque, et découle de la projection intérieure. 
Au temps où l'on confondait allègrement les grandeurs physiques avec les nombres, on prenait le "produit scalaire" pour un nombre, et c'était la source de confusions et de mésaventures sans fin. Evidemment, un nombre multiplié par le carré d'une longueur, n'est pas un nombre, mais une grandeur scalable, de dimension homogène à une aire.

=== Usages ===

En physique, le produit scalaire (produit intérieur, contracté), sert surtout à calculer le travail d'une force : 
force x déplacement x cosinus (force; déplacement).
Autrement dit, avant de multiplier la force par le déplacement, on commence par projeter l'un sur l'autre, et
la projection est orthogonale. C'est bien la '''projection intérieure''' qui est utilisée ici. Puis on prend le
produit des modules. 
En géométrie, le produit intérieur, contracté, sert à calculer des angles, et des longueurs. Il est donc à la base de toutes les relations métriques de la cristallographie.

=== Piège ===
Pour que le produit scalaire soit un nombre, un vrai nombre, il faut qu'un vecteur soit en mètres, et l'autre en m-1.
Autrement dit, seul le produit scalaire d'un vecteur par un covecteur (ou l'inverse, puisque ce produit est commutatif), peut donner un nombre.

=== Propriétés du produit scalaire (produit intérieur, contracté) ===

Elles découlent de la définition. 
Ce produit conserve évidemment la multiplication par un nombre: <math>\vec{V_1}. (\lambda \vec{V_2}) = \lambda.\vec{V_1}.\vec{V_2}.</math>

Il conserve aussi l'addition, donc la projection et la décomposition en projections sur les axes de
coordonnées. Cela se déduit de la linéarité de l'opérateur de projection: la projection sur un axe, de la
somme de deux vecteurs, est la somme des projections de ces vecteurs sur le même axe. On en conclut que
le produit scalaire est distributif sur les opérations de somme vectorielle, et de multiplication par un
nombre. 
La contraction '''brise l'associativité''', qui était conservée et par le produit tensoriel, et par la symétrisation. Le produit scalaire n'est pas associatif.

== Expression du produit scalaire avec les coordonnées. ==

Soient <math>\vec j</math>, <math>\vec k</math>, <math>\vec l</math>, les trois vecteurs de base. Les longueurs j, k, l, sont les modules de ces vecteurs <math>\vec j</math>, <math>\vec k</math>, <math>\vec l</math>. Les angles (<math>\vec k</math>, <math>\vec l</math>), (<math>\vec l</math>, <math>\vec j</math>), (<math>\vec j</math>, <math>\vec k</math>) sont notés <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>.

=== Expression simplifiée, en repère orthonormé ===

Les angles <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math> sont supposés droits, donc leurs cosinus sont tous nuls. Donc les produits scalaires suivants sont nuls :
<math>\vec k.\vec l = 0</math>, <math>\vec l.\vec j = 0</math>, <math>\vec j.\vec k = 0</math>, <math>\vec j.\vec l = 0</math>, <math>\vec k.\vec j = 0</math>, <math>\vec l.\vec k = 0</math>.

Les trois autres sont unitaires par hypothèse : <math>\vec j.\vec j</math> = j² = unité au carré. <math>\vec k.\vec k</math> = k² = unité au carré. <math>\vec l.\vec l</math> = l² = unité au carré.

<math>\vec V = V_j \vec j \hspace{5}+\hspace{5} V_k \vec k \hspace{5}+\hspace{5} V_l \vec l </math> 
<math>\vec {V'} = V'_j \vec j \hspace{5}+\hspace{5} V'_k \vec k \hspace{5}+\hspace{5} V'_l \vec l </math> 

On utilise alors la distributivité : 
<math>\vec V . \vec {V'} \hspace{16}=\hspace{16} (V_j \vec j \hspace{8}+\hspace{8} V_k \vec k \hspace{8}+\hspace{8} V_l \vec l).(V'_j \vec j \hspace{8}+\hspace{8} V'_k \vec k \hspace{8}+\hspace{8} V'_l \vec l) \hspace{16}</math> = <math>\hspace{16}V_j V'_j\hspace{8}j^2 \hspace{8}+\hspace{8} V_k V'_k\hspace{8}k^2 \hspace{8}+\hspace{8} V_l V'_l\hspace{8}l^2 </math>.

En effet, les termes croisés sont tous affectés de coefficients nuls.

D'où <math>\vec V . \vec {V'} \hspace{8}=\hspace{8} (V_j V'_j \hspace{8}+\hspace{8} V_k V'_k \hspace{8}+\hspace{8} V_l V'_l )</math> unité². 

=== Expression complète avec les coordonnées ===

Pour l'expression générale, on est amenés à calculer, pour chaque système de vecteurs de base, un tableau carré '''g''', où sont portés les produits scalaires de chaque vecteur de base, par chaque vecteur de base.

<math>g \hspace{8}=\hspace{8} \begin{bmatrix}j^2 & \vec j.\vec k & \vec j.\vec l\\ \vec k.\vec j & k^2 & \vec k.\vec l\\ \vec l.\vec j & \vec l.\vec k & l^2 \end{bmatrix} \hspace{8}=\hspace{8} \begin{bmatrix} j^2 & jk\cos\gamma & jl\cos\beta \\ kj\cos\gamma & k^2 & kl\cos\alpha\\ lj\cos\beta & lk\cos\alpha & l^2 \end{bmatrix}</math>

Cela s'appelle le tenseur métrique, ou plus anciennement, la matrice de Gram (au sens des mathématiciens, en oubliant l'unité physique). Une base est orthonormale, si et seulement si sa matrice de Gram est la matrice unité multipliant le carré de l'unité de longueur. De toute évidence, '''g''' est un tenseur symétrique, et il est deux fois covariant, par construction.

D'où le carré du module d'un vecteur, comme produit contracté, dans le cas général : <math>\left\| \vec V \right\|^2 \hspace{12} = \hspace{12} \vec V.\vec V \hspace{12} = \hspace{12} \sum_{n,m} {g_{mn}V^mV^n}</math>

Sans le tenseur métrique vous ne pourriez rien faire en cristallographie et radiocristallographie : angles de droites, angles de droites et plans, angles de plans, distances entre plans, etc. Avec le tenseur métrique et les six paramètres de maille vous pouvez prédire toutes les raies d'un diffractogramme X (ou électronique, ou neutronique); vous en prédisez même trop, car selon le remplissage par le motif de maille, certaines raies sont nécessairement éteintes.

Cette relation s'étend au produit scalaire de deux vecteurs : <math> \vec V.\vec W \hspace{12} = \hspace{12} \sum_{n,m} {g_{mn}V^mW^n}</math>

Ce nom de "''tenseur''" est encore un de ces hasards cocasses de l'Histoire. Il se trouve que le premier physicien à s'emparer des outils de "'''calcul différentiel absolu'''" de '''Gregorio Ricci-Curbastro''' et de '''Tullio Levi-Civita''', fut '''Woldemar Voigt''', qui en avait l'usage pour décrire l'élasticité des cristaux.

Par un hasard similaire, un chant guerrier composé à Strasbourg pour l'armée du Rhin, devint ensuite "''la Marseillaise''". Il n'y a aucune espèce de "''tension''" à interpréter dans "''tenseur''", ni rien de marseillais dans notre hymne national. Il n'y a là rien de plus que le premier utilisateur qui ait été vraiment remarqué.

= Changements de base =

== Expression matricielle des changements de base ==

Cette expression découle directement de la définition des vecteurs comme classes d'équivalence des bipoints. Elle généralise ce que nous avons vu de la covariance et de la contravariance, rappelé dans l'article précédent. Ecrivons les coordonnées des nouveaux vecteurs de base, selon l'ancienne base :
<math>T \hspace{5}=\hspace{5} \begin{bmatrix}\epsilon_1^1 \\ \epsilon_1^2 \end{bmatrix}</math> et <math>\begin{bmatrix}\epsilon_2^1 \\ \epsilon_2^2 \end{bmatrix}</math>, puis assemblons ces colonnes de coordonnées en un tableau carré, appelé matrice de changement de base :

<math>\begin{bmatrix}\epsilon_1^1 & \epsilon_2^1 \\ \epsilon_1^2 & \epsilon_2^2\end{bmatrix}</math> en dimension 2, et <math>\begin{bmatrix}\epsilon_1^1 & \epsilon_2^1 & \epsilon_3^1\\ \epsilon_1^2 & \epsilon_2^2 & \epsilon_3^2\\ \epsilon_1^32 & \epsilon_2^3 & \epsilon_3^3\end{bmatrix}</math> en dimension 3.

Que notre espace vectoriel soit de dimension 2, 3, 4 ou 77, le principe est le même.

Nous pouvons calculer la matrice inverse T-1, telle que T-1.T = T.T-1 = 1.

T-1 est la matrice qui exprime l'ancienne base en fonction de la nouvelle. Nous avons déjà vu que les coordonnées d'un vecteur sont contravariantes à la base : un vecteur est du genre longueur. On pourrait le dire en style plus savant, mais cela n'apporterait rien de plus. Donc c'est la matrice T-1 qui transforme les anciennes coordonnées d'un vecteur dans les nouvelles (le même vecteur, exprimé selon la nouvelle base) :

Soit un vecteur quelconque, exprimé dans l'ancienne et la nouvelle base (dimension 3 ou n, qu'importe) :

<math>\vec V \hspace{5}=\hspace{5} V_j \vec j \hspace{5}+\hspace{5} V_k \vec k \hspace{5}+\hspace{5} V_l \vec l \hspace{5}=\hspace{5} V^1e_1 + V^2e_2 + V^3e_3 \hspace{5}=\hspace{5} V'^1\epsilon_1 + V'^2\epsilon_2 + V'^3\epsilon_3</math>

A partir de cet instant, on s'imposera la discipline de n'écrire les coordonnées contravariantes qu'avec des indices en haut. Il faudra ne pas confondre avec l'écriture des puissances d'un nombre.

A. Einstein (1879-1955) a condensé cette écriture, par la convention que tout indice répété en haut et en bas, signifie une sommation sur cet indice. Réécrivons selon la convention d'Einstein :
<math>\vec V \hspace{5}=\hspace{5} V^ie_i \hspace{5}=\hspace{5} V'^j\epsilon_j</math>

Or, par définition de T, <math>\epsilon_j = T^i_j \hspace{3} e_i</math>. Donc <math>\vec V \hspace{5}=\hspace{5} V^i \hspace{3} e_i \hspace{5}=\hspace{5} V'^j\hspace{3}\epsilon_j = V'_j \hspace{3}T^i_j \hspace{3}e_i</math> . On peut validement simplifier par les vecteurs de base.

Il vient : <math>V^i = V'^j T^i_j</math>. C'est à dire les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles. Nommons <math>\tau ^i_j</math> les coordonnées de la matrice inverse T-1. On peut alors exprimer les nouvelles coordonnées en fonction des anciennes : <math>V'^i = V^j \tau^i_j</math> .

Les covecteurs ont le comportement dimensionnel opposé, soit exactement celui des vecteurs de la base : la matrice T change les anciennes coordonnées en les nouvelles.

Tels sont le comportement dimensionnel des vecteurs, et celui des covecteurs. Ce comportement est caractéristique, et ne connaît aucune exception. Si les coordonnées d'une grandeur ont un autre comportement envers un changement de base que celui d'un vecteur (respectivement : d'un covecteur), alors elle n'est pas un vecteur (resp. : un covecteur).

Cette règle est consubstantielle à la physique macroscopique.

== Garde-fou dimensionnel ==

Reprenons l'exemple d'un vecteur <math>\vec V</math> de l'espace affine ordinaire : <math>\vec V</math> = Vj <math>\vec j</math> + Vk <math>\vec k</math> + Vl <math>\vec l</math>. Il est naturellement rapporté à des vecteurs unitaires de base, qui sont eux-mêmes rapportés à une unité de longueur. Ces vecteurs unitaires sont donc exprimés en mètres. Tandis que les coordonnées (contravariantes) de notre vecteur sur ce repère, ne sont que des nombres.

Les composantes du tenseur métrique g, sont donc exprimées en mètres carrés, leur unité naturelle. Les composantes du tenseur métrique réciproque sont donc en m-2. Le covecteur inverse de <math>\vec V</math> s'exprime naturellement sur la base duale (contravariante), qui est en m-1 : <math>\vec V</math>.<math>\vec V^{-1}</math> = 1.

Il est devenu habituel de considérer sans précautions une seconde expression possible : exprimer <math>\vec V</math> en fonction de la base duale, et inversement, le vecteur dual en fonction de la base directe. Mais alors les nouvelles coordonnées cessent aussitôt d'être des nombres sans dimension.

Sur la base duale (contravariante, en m-1), les coordonnées (covariantes) de <math>\vec V</math> sont en m2. Si l'on passe en unités cm, les coordonnées sont alors divisées par 100 : ce sont des cm2. Tandis que les coordonnées naturelles (contravariantes) sont multipliées par 100.

Résumons : 2 m = 2 x 1 m = 200 x 1 cm = 200 cm2 x 1 cm-1 = 2 m2 x 1 m-1.

Nous avons bien vérifié sur les coordonnées covariantes : 200 cm2 = 2 m2 /100.

Sur la base directe (en m), les coordonnées du dual de <math>\vec V</math> sont en m-2. Si l'on passe en unités cm, les coordonnées sont alors multipliées par 100. Tandis que les coordonnées naturelles sont divisées par 100.

Résumons : 0,5 m-1 = 0,5 1 m-1 = 0,005 1 cm-1 = 0,005 cm-2 1 cm = 0,5 m-2 1 m.

Nous avons bien vérifié sur les coordonnées contravariantes : 0,005 cm-2 = 0,5 m-2x 100.

Et pourtant, depuis Elie Cartan, tout le monde croyait malin de répéter cet énorme barbarisme dimensionnel : "''En repère orthogonal, la distinction entre composantes covariantes, et composantes contravariantes disparaît''". Autrement dit : ''200 = 200 cm2''. Et ''5 = 5 cm-2''. Ahurissant. Tout est prêt pour l'affirmation : "''5 flacons = 5 pétroliers''", ou pour le calcul de l'âge du capitaine en additionnant les chèvres avec les oies.

== Livret de famille des grandeurs géométriques de la physique sur un espace vectoriel (de dimension n) ==

[[Image: Livret_famille.gif]]

Si le comportement des coordonnées d'une grandeur, ressemble à celui des coordonnées d'un vecteur ou d'un covecteur, en ce sens qu'il faut appliquer n fois la matrice de changement de base, et p fois la matrice inverse, alors cette grandeur appartient à la famille plus générale des tenseurs, ici n fois covariant, p fois contravariant, ce qui se note : de type (p, n).

Nous venons de citer le tenseur métrique, sous la forme de type (0,2) : coordonnées 2 fois covariantes.

Avant éventuelle contraction, le produit d'un vecteur par un covecteur, est de type (1, 1). Le produit de deux vecteurs est de type (2, 0). Le produit de deux covecteurs est de type (0, 2). La contraction d'un type (1, 1) a pour résultat un type (0, 0), scalaire. Sur un espace vectoriel de dimension n, un tenseur d'ordre p, a exactement np coordonnées. Mais des conditions de symétrie peuvent en restreindre l'indépendance.

Plus généralement, le dual (au sens algébrique, seul cohérent) d'une grandeur physique, a toujours les mêmes propriétés de symétrie. Pour l'instant, nous ne l'avons constaté que pour les vecteurs et leurs duaux, les covecteurs. Nous verrons ensuite le lien étroit avec la dimension physique, et avec le théorème de Noether.

= Références =

Suite : [[Les quart-de-tours entre vecteurs : gyreurs]]

Pour aller plus loin : '''Lemmes pour l'algèbre des tourneurs :''' http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/syntaxe3.htm

Vecteurs, définition, propriétés

2015-09-18T13:00:07Z

Jacques Lavau : Page créée avec « Prérequis : Les grandeurs physiques = Un vecteur, comme son nom l'indique, c'est pour les translations = '''Un vecteur, comme son nom l'indique, c'est pour les trans... »

Prérequis : [[Les grandeurs physiques]]

= Un vecteur, comme son nom l'indique, c'est pour les translations =
'''Un vecteur, comme son nom l'indique, c'est pour les translations''', et et c'est pour tout ce qui se déduit directement des translations, en physique : vitesse, accélération, quantité de mouvement, force, champ électrique, dipôle électrostatique, vitesse de diffusion ionique. Aller d'un départ vers une destination.

== Comme son nom l'indique ? ==

La racine ''vagh'', en indo-européen, désignait le chariot. Elle a donné des centaines de descendants, dont plusieurs dizaines en français.

Rappel de vocabulaire : Le mot "''vector''" était déjà pris depuis plus de 42 siècles, avant d'être réutilisé en 1837 par W. R. Hamilton (1805 - 1865), à l'usage des mathématiciens et des physiciens. Dans le dictionnaire de latin, on trouve une famille de plus de 100 termes autour du verbe "''vehere''", des noms "''vector''" (au sens de chariot, puis d'animal bâté ou de trait, de cavalier ou de passager d'un navire), et "''veha''" (voie). En français, nous avons gardé : véhicule, voie, voyer, dévier, convecteur, vexer, convexe, vétérinaire. La famille est également riche dans les langues germaniques : Weg, thalweg, Norvège, Solveig, tramway, wagon, vaguemestre... On la retrouve aussi dans les langues slaves.

Depuis des millénaires, nous rencontrons l'usage littéral : est ''vecteur'' ce qui véhicule quelque chose. Une flèche incendiaire tirée depuis un arc à corde très lâche, fut un vecteur de combustion, capable de provoquer un incendie dans les fortifications en bois de l'adversaire. Au 18e siècle, les colporteurs furent les vecteurs des pamphlets révolutionnaires. Certaines fusées sont des vecteurs nucléaires. Le moustique est le vecteur de la fièvre jaune et du paludisme.

En second et depuis 1837, nous rencontrons sa mathématisation immédiate (mais correcte), pour les besoins de la physique macroscopique : '''est vecteur ce qui caractérise une translation'''. Ce cahier des charges est rempli par la définition de Bellavitis : les vecteurs comme classes d'équivalences des bipoints par la relation d'équipollence. La sémantique précédente est donc conservée, dans ses grandes lignes, mais connaît une schématisation. Du point de vue mathématique, et dans le langage axiomatique que nous devons aux écoles de Klein et de Hilbert, nous avons besoin des axiomes des espaces vectoriels, plus une métrique, plus le moyen de définir une translation. Ce qui implique que l'espace en question soit au moins approximable localement par un espace affine pseudo-euclidien tangent. Du point de vue pratique, cela signifie que l'on peut valablement dessiner, et se servir de ses mains, d'une règle, d'un compas, d'une équerre, ou de ses pas, ou de ses outils d'atelier, pour se guider dans les raisonnements.

Par extension légitime, est aussi considéré comme vecteur, tout ce qui dérive du vecteur de translation, par une dérivation ou intégration selon une variable qui n'est pas d'espace (le temps, notamment), ou par multiplication par une grandeur, dont la dimension physique ne comprend aucune longueur, à quelque puissance que ce soit.

== Définition : de la translation, à la classe d'équipollence des bipoints ==

Le cahier des charges est de caractériser l'opérateur de translation. La définition formelle répondant à ces réquisitions, définit le vecteur comme classe d'équivalence de bipoints, par la relation d'équipollence. Cette définition n'est pas la définition minimaliste des espaces vectoriels abstraits. Mais c'est la plus petite qui couvre toutes les propriétés géométriques réellement utilisées par la physique élémentaire macroscopique.

Nos nombres entiers, si familiers, sont aussi des classes d'équivalence : 2 n'est pas une paire de vaches, ni une paire de cailloux, mais est ce qu'il y a de commun à une paire de vaches, une paire de cailloux, une paire de claques, etc. par la relation : {il existe une bijection entre ces deux collections}.

Dans un espace E, comme notre espace ordinaire de la géométrie, les bipoints servent à résumer un déplacement, avec un point de départ, et un point d'arrivée.

Un bipoint : c'est un couple de points, respectivement le premier, ou point de départ, et le second, ou point d'arrivée. On le note (A,B). Les extrémités d'intervalles finis sur une droite, forment de tels bipoints.

=== Mettre deux bipoints bout à bout ===

On peut définir une addition : si le départ du second, est exactement l'arrivée du premier,

(A,C) = (A,B) + (B,C). [[Image:Adbipoints.gif‎]]

Exemple : se rendre de Paris à Lyon, puis de Lyon à Marseille, revient à se rendre de Paris à Marseille. Puisqu'on ne s'intéresse qu'au point de départ, et au point d'arrivée.

C'est la relation de Chasles.

On ne sait pas multiplier un bipoint par une constante. Mathématiquement, autant dire qu'on ne sait presque rien faire avec des bipoints.

=== Si le parallélisme existe, on peut définir l'équipollence de deux bipoints ===

Ajoutons l'hypothèse que dans notre espace E, le postulat d'Euclide soit vérifié : la parallèle d'une droite passant par un point, existe, et est unique. Dans ce cas, les parallélogrammes existent.

[[Image:Equipollence.gif]]

Définition : Les bipoints (D,E) et (D',E') sont dits équipollents si le quadrilatère DEE'D' est un parallélogramme. 
C'est une relation réflexive, réciproque et transitive : une relation d'équivalence.

'''Définition : un vecteur est la classe d'équivalence de bipoints, par la relation d'équipollence.'''
Un vecteur peut prendre une infinité de bipoints comme représentants de la classe.

De l'addition des bipoints, on déduit l'addition des vecteurs : pour tous points A, B, et C, <math>\vec {AC}</math> = <math>\vec {AB}</math> + <math>\vec {BC}</math>. 
Sauf que cette fois, c'est la classe d'équipollence représentée par le bipoint (A,C), qui est bien la somme de la classe d'équipollence représentée par le bipoint (A,B) et de la classe d'équipollence représentée par le bipoint (B,C), et on est libres de choisir d'autres représentants, les représentants qui nous sont les plus commodes.

Dans un espace euclidien, et grâce aux parallélogrammes, on peut transporter les extrémités d'un bipoint, les éléments caractérisant une translation. Plus tard, pour parler d'orthogonalité, nous aurons besoin de choisir une norme euclidienne parmi toutes celles possibles. En effet, les expériences de mesures courantes dans notre espace humain sont compatibles avec le postulat d'Euclide, et avec le postulat qu'il existe bien une orthogonalité. Tant que les vitesses des objets dans le laboratoire sont faibles devant celle de la lumière, la longueur d'un objet ne dépend pas de son orientation dans l'espace, sous réserve qu'il soit mécaniquement indéformable. Sous réserve aussi que les trajets de la lumière dans le vide soient représentatifs de l'idée que nous nous faisons de la ligne droite, ce qui est bien réalisé à la surface de la Terre, astre modeste, à la gravité modeste.

De cette définition, il résulte qu'on peut additionner entre eux les vecteurs de même nature, les multiplier par un nombre, et par une grandeur physique non géométrique. Et par une grandeur géométrique, telle qu'un autre vecteur ? Là c'est un chapitre ultérieur de la géométrie, ou analyse tensorielle, dans laquelle ces vecteurs que nous venons de définir, sont inclus comme tenseurs d'ordre 1.

== Quatre projections pour la physique ==

=== Projections quelconques ===
Puisque nous savons faire la somme et la différence de deux vecteurs, nous savons projeter sur un sous-espace, parallèlement à un sous-espace complémentaire. 
Ces projections sont indispensables en cristallographie : projeter parallèlement aux autres axes cristallographiques du cristal, qui ont rarement la gentillesse d'être orthogonaux entre eux.

[[Image:Projection.gif]]

=== Projections orthogonales, intérieure et extérieure ===

Le choix le plus simple, physiquement le plus fécond, est de prendre la direction perpendiculaire.

Prenons désormais le choix de projection orthogonale à D. La décomposition de <math>\vec V</math> est alors unique :

<math>\vec V</math> = <math>\vec V_{//}</math> + <math>\vec V_{\rotatebox{180}T}</math>.

On désigne le restant de l'opération projection, <math>\vec V_{\rotatebox{180}T}</math>, la projection extérieure de <math>\vec V</math> sur D.

<math>\vec V_{//}</math> est la projection intérieure.
[[Image:Proj_orthogonales.gif]]

D'où il viendra la définition sommaire du produit intérieur : produit d'un vecteur, par la projection intérieure de l'autre.

Et la définition sommaire du produit extérieur : produit d'un vecteur, par la projection extérieure de l'autre.

Ceci est indispensable à la physique. On l'étend facilement aux tenseurs d'ordre supérieur.

Avec un plan P et un vecteur, on définit de la même façon, la projection intérieure sur ce plan : <math>\vec V_{//}</math>, et la projection extérieure au plan : <math>\vec V_{\rotatebox{180}T}</math>, qui est orthogonale à tout vecteur de P.

En considérant les covecteurs inverses (sur un espace métrique), on définit de même les projections anti-intérieure, et anti-extérieure.

= Coordonnées d'un vecteur. =

== Repère ==

On ne peut décrire une position d'un point que par rapport à un repère.

[[Image:Repere.gif]]

Un repère cartésien (le plus utilisé) se compose d'une origine, d'exactement autant de directions d'axes qu'il en faut (par exemple 2 en géométrie plane, 3 en géométrie dans l'espace), et du même nombre de vecteurs unitaires sur chaque axe.

Unitaire, signifiant qu'il est de longueur unité.

On se simplifie beaucoup la vie, quand on peut choisir des axes orthogonaux entre eux, et ayant la même unité de longueur sur chaque axe. On appelle un tel repère, un repère orthonormé.

Dans la géométrie courante, on peut faire ce choix d'orthonormalité, et on le fait systématiquement. Si notre métier s'occupait de cristaux (cristaux métalliques, comme dans tous les métaux et alliages, ou cristaux minéraux, comme dans le mica, ou le quartz), parfois nous pourrions prendre un repère orthonormé dans le cristal (cas du cuivre, de l'aluminium), et d'autres fois, ce choix serait désastreux (cas du mica, du quartz, du magnésium, du zinc, du titane, etc...). Les cristallographes (ceux dont le métier s'occupe de cristaux, par exemple pour étudier des piézoélectriques, des ferromagnétiques, des supraconducteurs) préfèrent de loin prendre un repère qui épouse les directions et unités du cristal. Il leur a donc fallu apprendre un peu plus de géométrie, et d'algèbre linéaire, pour rester capables de calculer juste, à partir de repères non orthogonaux, et dont les unités selon les axes ne sont pas nécessairement égales. Même problème en mécanique des élastomères : un repère lié à la matière au repos, n'est plus orthonormé, ni même euclidien, quand la matière est déformée.

Avoir choisi un repère, permet de privilégier une certaine sorte de projection : la projection sur les axes de coordonnées. Il est possible de projeter tout vecteur <math>\vec V</math> sur les axes du repère. Si on nomme <math>\vec O_x</math> <math>\vec O_y</math>, <math>\vec O_z</math> les axes de ce repère, on pourrait nommer
<math>\vec V_x</math>, <math>\vec V_y</math> et <math>\vec V_z</math> les trois projections de <math>\vec V</math> sur ces trois axes. La règle du jeu à respecter, est que la projection se fasse parallèlement aux autres axes du repère. Si l'on est dans le plan, cela se réduit à : parallèlement à l'autre axe du repère. Tout vecteur se décompose ainsi de façon unique comme somme de deux (dans le plan) ou trois vecteurs, chacun parallèle à un axe de coordonnées.

== Bases et coordonnées ==

La liste des vecteurs unitaires, énoncée dans un ordre fixe, est aussi appelée une base de l'espace E. Nous pouvons nommer distinctement les vecteurs de base, par exemple <math>\vec j</math>, <math>\vec k</math>, <math>\vec l</math>. Nous pouvons aussi leur donner un numéro, dit indice. Ils seront alors appelés e1, e2, e3. Les débutants préfèrent la première façon de nommer les vecteurs de base. Les professionnels préfèrent (de beaucoup) la seconde façon.

Il est possible de projeter tout vecteur <math>\vec V</math> sur les axes du repère.

Si on nomme <math>\vec O_x</math> <math>\vec O_y</math>, <math>\vec O_z</math> les axes de ce repère, on peut nommer
<math>\vec V_x</math>, <math>\vec V_y</math> et <math>\vec V_z</math> les trois projections ou '''composantes''' de <math>\vec V</math> sur ces trois axes : <math>\vec V</math> = <math>\vec V_x</math> + <math>\vec V_y</math> + <math>\vec V_z</math>.

On peut rapporter chaque projection (ou composante), au vecteur unitaire de cet axe. Soient Vx, Vy, Vz, les trois quotients : 
<math>\vec V_x</math> = Vx. <math>\vec j</math> 
<math>\vec V_u</math> = Vy. <math>\vec k</math> 
<math>\vec V_z</math> = Vz. <math>\vec l</math> 

Tout vecteur de l'espace E est décomposable sur la base, d'une seule façon, que voici :

<math>\vec V</math> = Vj <math>\vec j</math> + Vk <math>\vec k</math> + Vl <math>\vec l</math> = V1 e1 + V2 e2 +V3 e3 .

Les nombres Vj , Vk, Vl (ou V1 , V2 , V3 , puisque par définition, ce sont les mêmes) sont nommés '''coordonnées''' de <math>\vec V</math> '''sur cette base'''. Chaque coordonnée est un quotient de deux vecteurs colinéaires : quotient d'une composante sur un axe par le vecteur unité de cet axe. Un vecteur se distingue d'une grandeur physique ordinaire, scalable, en ce qu'il faut plusieurs quotients à la fois, pour le décrire.

Par opposition, on nomme "''scalaire''" une grandeur physique qui se contente d'une seule coordonnée, et qui ne dépend pas des orientations ni des unités du repère géométrique.

Si pendant quelque temps, on ne change jamais de base (repère et vecteurs unitaires), on économise en écritures, en se contentant de désigner un vecteur par seulement ses coordonnées dans cette base. On peut les écrire en ligne : (V1 , V2 , V3), ou en colonne : <math>\left(\large\begin{array}V_1\\V_2\\V_3\end{array}\right)</math>, à condition que le début de validité de la base définie, ait été clairement précisé avant.

=== Ce qu'il ne faut plus faire ===

Oublier de mentionner la base, son unité et ses propriétés, est une omission trop courante. Cette négligence serait mortelle pour un calcul en cristallographie : tout serait faux. D'autant plus dangereuse qu'elle est tacite et inconsciente depuis les origine de l'usage des vecteurs au 19e siècle, cette négligence a vite produit de grosses incompréhensions, qui durent, qui durent... Ainsi depuis le 19e siècle, on s'est souvent imaginé qu'un vecteur ne serait rien de plus qu'une suite ou liste de nombres, en oubliant de l'accompagner de la règle de transformation de cette suite, à chaque changement de base, et d'une unité physique.

=== Ce qu'on peut faire et qui est une innovation ===

Rien ne nous interdit de généraliser les coordonnées, prendre de vraies grandeurs physiques - cohérentes, quand même - au lieu de simples nombres. Ainsi un repère géométrique pour les positions peut servir à définir les coordonnées d'une quantité de mouvement : ses vecteurs de base sont en mètres, les coordonnées de la quantité de mouvement sur cette base, seront en kilogrammes divisés par seconde. La quantité de mouvement est bien en kilogramme.mètre/seconde.

== Addition de vecteurs par les coordonnées (sur la même base) ==
Aucune difficulté : on additionne les coordonnées homologues.

Soient les vecteurs <math>\vec V</math> et <math>\vec U</math>, de coordonnées <math>\left(\large\begin{array}V_1\\V_2\\V_3\end{array}\right)</math> et <math>\left(\large\begin{array}U_1\\U_2\\U_3\end{array}\right)</math> (coordonnées sur la même base !).

Le vecteur somme <math>\vec V</math> + <math>\vec U</math> a pour coordonnées : <math>\left(\large\begin{array}V_1 + U_1\\V_2 + U_2\\V_3 + U_3\end{array}\right)</math>.
 Même scénario pour la différence : différence des coordonnées.

== Changement d'origine ==
Changement d'origine, pour les vecteurs de repérage des points de l'espace. L'origine était O. Désormais on prend O'. On applique la règle d'addition des bipoints : 
<math>\vec {O'M} = \vec {OM} - \vec {OO'}</math>

== Multiplication par un nombre, ou une constante "scalaire". ==
On multiplie toutes les coordonnées par la constante.

= Symétries des vecteurs =

== Dimension 1 : Géométrie sur une droite ==

Symétrie par rapport à un point. Le vecteur est toujours retourné par cette symétrie.

== Dimension 2 : Géométrie sur un plan ==

Il ne peut y avoir que deux sortes de sous-espaces invariants par la symétrie : un point ou une droite. Le point est un sous-espace de dimension nulle. La droite est un sous-espace de dimension un.

=== Symétrie par rapport à un point. ===

[[Image:Symetrie-point.gif]]

Le vecteur est toujours retourné par cette symétrie.

Alors que les grandeurs de second échelon, telles que les angles orientés, sont conservées !

=== Symétries par rapport à une droite. ===

Deux cas simples se présentent : 
Le vecteur est parallèle à la droite invariante. Il est conservé.
[[Image:Symetrie-droite-parall.gif]] 
Le vecteur est perpendiculaire à la droite invariante. Il est retourné.
[[Image:Symetrie-droite-perpend.gif]] 

'''Cas général :'''

Vecteur ni perpendiculaire ni parallèle à la droite invariante. Alors la projection intérieure de V sur D est conservée, tandis que le restant, projection extérieure, est retourné.
[[Image:Symetrie-droite-qnque.gif]]

== Géométrie dans l'espace E3 (affine à '''R'''3). ==

Il ne peut y avoir que trois sortes de sous-espace invariant par la symétrie : un point, une droite, ou un plan. Le plan est un sous-espace de dimension deux.

=== Symétrie par rapport à un point. ===
Le vecteur est toujours retourné par cette symétrie.

=== Symétrie par rapport à une droite.===
Deux cas simples se présentent :

Le vecteur est parallèle à la droite invariante. Il est conservé.

Le vecteur est perpendiculaire à la droite invariante. Il est retourné.

Cas général : vecteur ni perpendiculaire ni parallèle à la droite invariante. Alors la projection intérieure de V sur D est conservée, tandis que le restant, projection extérieure, est retourné.

=== Symétrie par rapport à un plan. ===
Deux cas simples se présentent :

Le vecteur est parallèle au plan invariant. Il est conservé.

Le vecteur est perpendiculaire au plan invariant. Il est retourné.

Cas général : vecteur ni perpendiculaire ni parallèle au plan invariant. Alors la projection intérieure de V sur le plan P est conservée, tandis que le restant, projection extérieure, est retourné.

Les dessins se déduisent immédiatement des dessins valides en géométrie plane. Pas d'éléments vraiment nouveaux. La symétrie par rapport à un plan se dessine en projection sur un plan, identiquement à la symétrie par rapport à une droite, si l'on choisit de projeter sur le plan qui contient les vecteurs symétriques.

== Généralisation, en espace de dimension n. ==

La projection intérieure d'un vecteur sur un sous-espace invariant, est conservée. 
La projection extérieure d'un vecteur sur un sous-espace invariant, est retournée. 
Ça valait donc la peine de distinguer la projection extérieure de la projection intérieure.

== A quoi les symétries sont-elles utiles ? ==

Les symétries servent à ramener de nouveaux problèmes à des problèmes connus et déjà résolus. Elles servent à se simplifier la vie, à prouver que des coordonnées sont nulles, ou égales, sans longs calculs. Elles servent à prouver que des effets sont nuls. En 1894, '''Pierre Curie''' (1859 - 1906) a énoncé le principe : '''L'effet est au moins aussi symétrique que la cause. Réciproquement, c'est la dissymétrie qui crée le phénomène.'''

Il existe de nombreuses autres sortes de symétries, que nous n'étudions pas ici.

== Si on change de vecteurs de base ? ==

Supposons que je communique le résultat de mes travaux, à un ami et collègue ingénieur, qui travaille aux Etats-Unis. Moi, j'ai travaillé en mètres, l'unité légale en France de nos jours. Mais lui travaille en yards, en pieds et en pouces. Ou plus simplement, je voudrais communiquer mes travaux à un physicien âgé, qui a utilisé toute sa vie le centimètre comme unité légale, utilisée par les physiciens du monde entier, de son temps.

Je lui parle d'un vecteur long de 2 mètres. Pour me comprendre, il va traduire cela comme un vecteur long de 200 cm. Traduisons cela en coordonnées :

<math>\vec V</math> = (2,0,0) m = (200,0,0) cm.

On remarque que quand l'unité est 100 fois plus grande, alors les coordonnées sont 100 fois plus petites. Autrement dit, les coordonnées naturelles sont contravariantes : elles varient au contraire de la base. C'est indispensable, pour que ces coordonnées soient bien descriptrices du même vecteur physique.

= Grandeurs vectorielles en physique =

La somme vectorielle, sous la forme d'addition de vitesses, ou d'addition de forces, était maîtrisée dès le 17e siècle, par certains physiciens (pas tous...). Malgré ce que nos manuels nous font croire, ni Laplace (1749 - 1827), ni Ampère (1775 - 1836) n'ont connu le mot "vecteur", inventé en 1837, ni les notations vectorielles.

== Unités de base de la physique ==

On peut rapporter toutes les unités de la physique, à un tout petit nombre d'unités de base, huit en tout :

# L'unité de longueur (mètre), qui ne suffirait pas à la géométrie, sans...
# le radian, quotient de deux longueurs perpendiculaires. Le radian est le grand oublié des physiciens. Sa généralisation comme quotient de deux grandeurs en quadrature de phase, n'a jamais été clarifiée. Nous reviendrons dans le chapitre suivant, consacré aux tourneurs, produits extérieurs de vecteurs.
# L'unité de temps (seconde),
# l'unité de masse (kilogramme),
# l'unité de charge électrique (coulomb).

On peut symboliser ces cinq unités de base par les cinq majuscules : L, R, T, M, Q.

Les trois autres, le kelvin, la candela, la mole, ne nous serviront pas ici.

Chaque unité physique particulière, s'exprime comme un monôme généralisé des unités de base. Monôme généralisé, signifie : expression ne comportant que des multiplications et divisions. Les multiplications ou divisions multiples, peuvent se résumer par une élévation à une puissance. Cette puissance peut être négative, pour désigner une division. Par exemple, l'unité de vitesse, le mètre par seconde, a pour monôme : [L . T-1].

Cet exposé est très classique. Nous verrons ultérieurement à quel point il est critiquable, et doit être révisé de fond en comble au regard de la mécanique symplectique, et du théorème de Noether.

== Quelles sont les grandeurs physiques qui sont vectorielles ? ==

{| border="3"
|+ Quelles sont les grandeurs physiques qui sont vectorielles ?
! Nature de la grandeur
! Unité S.I.
! Monôme dimensionnel
|-----
| Déplacement
| m
| [L]
|-----
| Vitesse
| m/s
| [L.T-1]
|-----
| Accélération
| m/s2
| [L.T-2]
|-----
| Impulsion (quantité de mouvement)
| kg . m/s
| [M.L.T-1]
|-----
| Force
| kg . m/s2
| [M.L.T-2]
|-----
| Champ électrique (<math>\vec E</math>)
| volt/mètre = newton/coulomb
| M.L.T-2 . Q-1]
|-----
| Moment dipolaire électrostatique
| C . m
| [L.Q]
|-----
| Elément de courant (C'est le I.dl figurant dans la loi de Laplace).
| A . m = C . m /s
| [L.T-1.Q]
|-----
| Potentiel magnétique (<math>\vec A</math>)
| unité d'impulsion/coulomb
| [M.L.T-1 . Q-1]
|-----
|}

Remarque : la grandeur "longueur" figure toujours une fois, à la puissance 1.

Les covecteurs sont les grandeurs de dimensions en [L-1...], qui ont les mêmes propriétés de symétrie que les vecteurs (mais qui en diffèrent évidemment par leurs propriétés dimensionnelles). Plusieurs gradients considérés en chimie (lois de diffusion moléculaire ou ionique), ou en mécanique des fluides et en météorologie, sont des covecteurs, inverses de vecteurs. Vecteurs et covecteurs, composent le premier échelon dans la famille des tenseurs.

Enfin des capacités vectorielles volumiques, telles que le vecteur déplacement de Maxwell <math>\vec D = \epsilon \vec E</math>, peuvent être de dimension physique nette -2 relativement à l'unité de longueur : [L-2...] : [L-2 . Q] = [L . L-3 . Q]. 

Suites : [[Métrique des grandeurs vectorielles en physique]]
 [[Les quart-de-tours entre vecteurs : gyreurs]]

== Références et bibliographie ==
'''Syntaxe géométrique de la physique : projections et vrais vecteurs.''' http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/SYNTAXV1_.htm

Les quart-de-tours entre vecteurs : gyreurs

2015-09-18T12:59:08Z

Jacques Lavau : Page créée avec « === Prérequis. === La leçon sur les bipoints, les vecteurs, projection intérieure et projection extérieure. Repérer un point par ses coordonnées sur un repère. P... »

=== Prérequis. ===

La leçon sur les bipoints, les vecteurs, projection intérieure et projection extérieure.

Repérer un point par ses coordonnées sur un repère. Projeter un point sur les axes du repère. Les translations dans le plan ou l'espace. Le sinus et le cosinus d'un angle. L'angle d'une droite et d'un plan.

[[Les grandeurs physiques]] 
[[Vecteurs, définition, propriétés]] 
Le chapitre [[Métrique des grandeurs vectorielles en physique]] n'est pas indispensable dans un premier temps.

= Le besoin en physique : l'opérateur quart-de-tour entre deux vecteurs. =

Un petit nombre de lois physiques expriment qu'une grandeur vectorielle est perpendiculaire à une autre. Il faut projeter dans un plan de direction donnée, puis faire un quart de tour dans ce même plan, pour tracer le second vecteur, puis le multiplier par une grandeur physique scalable précise. L'étude du bref inventaire exhaustif de ces lois, vérifie qu'elles expriment toutes la partie infinitésimale '''d'une rotation infinitésimale''' :

== En cinématique, description du mouvement circulaire : ==

Prenons le cas d'un "point matériel" M en rotation uniforme autour d'un centre O, à la distance R (fixe) de ce centre de rotation O. Le plan de rotation est fixe.

[[Image: Mvmt_circ.gif]]

L'opérateur "vitesse angulaire" (qui contient un opérateur "quart de tour") appliqué au rayon vecteur (de l'axe au point M), donne la vitesse périphérique : <math>\vec V = \breve\omega . \vec R</math>

Les orientations de <math>\vec R</math> et <math>\vec V</math> changent constamment, mais leurs modules restent constants. Et leur quotient, la vitesse angulaire <math>\breve\omega</math> est bien constante, pour un mouvement de rotation uniforme.

L'accélération centripète s'exprime par le produit de la vitesse périphérique, par la vitesse angulaire : <math>\vec \gamma = \breve\omega.\vec V</math>. Dans les deux cas, <math>\breve\omega</math> relie deux vecteurs orthogonaux.

Dans le plan de rotation, il serait judicieux de dessiner ces relations géométriques
<math>\vec V = \breve\omega . \vec R</math> ainsi : [[Image: R-omega-V.gif]] 
Unité de <math>\breve\omega</math> : le radian par seconde.

L'accélération centripète <math>\gamma = \breve\omega.\vec V</math> par ce connecteur : [[Image: V-omega-gamma.gif]]

Et on peut réunir ces deux connecteurs, pour relier directement l'accélération centripète au rayon vecteur : <math>\vec \gamma = -| \breve\omega^2|. \vec R</math>
[[Image: R-V-gamma.gif]] Deux quarts-de-tour font un demi-tour...

Paradoxe : qu'est donc ce radian dont le carré vaut –1 ?

C'est le quotient de deux longueurs perpendiculaires, et égales.

Ce genre de dessin de connexion se retient facilement, car il ressemble à une courroie qui passe sur des poulies. Il ne signifie pas "poulies et courroie" ! Il signifie une connexion géométrique entre trois grandeurs vectorielles, et la grandeur gyratorielle <math>\breve\omega</math>. Ces quatre grandeurs physiques sont dans un même plan.

=== '''Définition : les opérateurs physiques qui ont la propriété de faire faire un quart de tour à une grandeur vectorielle, pour donner une autre grandeur vectorielle, sont dénommées des gyreurs.''' ===

Avant d'avoir défini mathématiquement la nature géométrique de la grandeur <math>\breve\omega</math>, vitesse angulaire, nous avons du moins établi que nous en avons besoin, et quelles sont ses propriétés exigées. C'est un cahier des charges. Il serait correct de définir <math>\breve\omega</math> comme le quotient de la vitesse périphérique par le rayon vecteur du point matériel, et aussi comme le quotient de l'accélération centripète par la vitesse périphérique.

(les vrais connaisseurs auront reconnu là des tenseurs antisymétriques de rang deux, mais les vrais connaisseurs sont fort rares...)

== Moment d'une grandeur vectorielle ==

En mécanique, le moment d'une force, réclame un être géométrique légèrement différent, car là il s'agit du produit d'un vecteur par la projection extérieure de l'autre, et non plus de leur quotient. Applications : balance à fléau, balance Roberval, engrenages, poulies, leviers, etc...

On pourrait dessiner cette relation ainsi : [[Image:Secteur-entre-V.gif]]

Une solution plus classique, et plus rationnelle, consiste à dessiner l'aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs dont on fait le produit extérieur. Cette aire est orientée, avec un sens de parcours de son périmètre.
[[Image: Aire-parallelo.gif]]

Ceci représente le produit extérieur de deux vecteurs vrais V1 et V2.

Avec un secteur en grisé, pour rappeler que le produit de deux vecteurs perpendiculaires (du genre longueur) est une aire. Nous verrons plus loin qu'il a pourtant exactement les mêmes éléments de symétrie que le gyreur vitesse angulaire.

Ce produit extérieur, utilise le sinus de l'angle des vecteurs, et a été inventé en 1844 par Hermann Grassmann (1809-1877). Son résultat a été dénommé un bivecteur par E. Cartan[3]. Nous préférons le dénommer "gyreur étendu". Deux bivecteurs sont équivalents s'ils appartiennent à la même direction de plan, qu'ils ont même aire, et tournent dans le même sens autour de cette aire. Cette relation d'équivalence, est la réplique fidèle de l'équipollence des bipoints, définissant l'égalité des vecteurs. Cette partie mathématique a été correctement exposée par Postnikov. Le sinus est une fonction impaire : (sin(-x) = -sin x), donc le produit extérieur est anticommutatif : V1 <math>\wedge</math> V2 = - V2 <math>\wedge</math> V1. On dit aussi que cet opérateur "<math>\wedge</math>" est antisymétrique.

Ce produit extérieur, dont le résultat est un gyreur étendu, représente bien une troisième loi de la mécanique : la loi de conservation du moment angulaire, produit extérieur du rayon vecteur par l'impulsion.

== Electricité : Loi d'Ampère-Laplace ==

Prenons un électron, lancé dans le vide d'un tube de téléviseur, ou d'un magnétron, ou d'un microscope électronique. Il est lancé avec une vitesse v, et rencontre un champ magnétique B (qui a la nature géométrique d'un gyreur).

Cas particulier : le plan du champ magnétique est bien parallèle au vecteur vitesse de l'électron. Le champ dévie alors l'électron dans une trajectoire circulaire. L'impulsion communiquée à l'électron par le champ magnétique reste alors toujours perpendiculaire à la vitesse, et le module de la vitesse ne change pas.

Cas général : La trajectoire est hélicoïdale, avec la section circulaire de l'hélice dans la direction de plan du champ magnétique. Le champ B n'agit que sur la projection intérieure de la vitesse sur le plan stable de B. La projection extérieure de la vitesse est inchangée, et donne l'axe de la trajectoire hélicoïdale.

Dessinons, dans le cas simple, avec trajectoire circulaire : [[Image: V-B-F.gif]]

'''Expression mathématique de la loi.'''

Pour une charge mobile, une particule : <math>\vec F = -q.\breve{B}.\vec v</math>

Dans le cas général, seule n'intervient que la projection intérieure de <math>\vec v</math> sur le plan stable de <math>\breve B</math>.

<math>\breve{B}.\vec v</math> dérive du produit intérieur, par contraction. [[Image: V-q-F-B.gif]]

L'expression analytique de <math>\breve{B}</math>, opérateur antisymétrique de rang 2, reflète qu'il est la composition d'une projection sur le plan "propre" stable, et d'une rotation d'un quart de tour dans ce plan stable.

Pour un conducteur parcouru par l'intensité '''i''' : <math>d\vec F = - \breve B . (\vec{i.dl})</math>. (c'est la loi d'Ampère-Laplace).

Signification physique du signe moins : deux courants de sens contraire se repoussent, de même sens s'attirent (c'est la loi qui donne la définition légale de l'ampère). Le champ <math>\breve{B}</math> est celui produit par les autres éléments de courant.

== Loi de Biot et Savart ==

La loi de Biot et Savart donne le champ en fonction des circuits et de l'intensité qui les traverse. D'abord, on va se contenter d'en donner le sens, en fonction du sens des courants.

Cas de figure : dans le plan en section d'une nappe de courant, ou dans l'espace, dans un plan passant par le fil conducteur : [[Image: Roulement-rouleaux.gif]]

Le gyreur champ magnétique, tourne dans le sens où, d'où l'on est, l'on voit défiler le vecteur élément de courant <math>\vec{i.dl} = dq.\vec v</math>, pour donner le champ magnétique <math>\breve B</math>.

Cas de figure : '''spire circulaire, ou solénoïde'''.

[[Image: Intensite-champ-B.gif]] '''Un rond dans un rond, et qui tournent pareil !'''

Pleurnichera-t-on que c'est ''trop compliqué''?
Ou ''trop mathématique'' ?

Dans tous les cas, le mnémonique est un roulement à billes, ou un chemin à billes.

Ces derniers schémas sont dus à l'académicien Pierre Léna, vers 1964, au temps où il était maître-assistant d'Electricité.

Pour l'orientation et les symétries, on a encore une loi similaire aux précédentes : [[Image: R-i-dl.gif]]

La forme complète est un peu plus compliquée :

<math>d\breve B = \frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {\vec R \wedge \vec{i.dl}}{|R|^3} </math> = <math>\frac {\mu_0}{4\pi}.\frac {(\vec R)^{-1} \wedge \vec{i.dl}}{R}</math>
[[Image: M-B-R-i-dl.gif]] 

L'élément de courant <math>\vec{i.dl}</math> et le vecteur <math>\vec R</math> reliant le point M à l'élément de courant, déterminent la direction de plan de <math>\breve B</math>. 

Le produit extérieur est indispensable. En France, le gros des troupes physiciennes le confond avec le "''produit vectoriel''", qui, en France exclusivement, emprunte la même apparence d'écriture. Cette apparence d'identité d'écriture est due à un piratage purement français : les mystificateurs du "''produit vectoriel''" ont piraté l'écriture de l'algèbre extérieure, avec un "^" pour se masquer dessous, au lieu de leur "x" originel. Dans les pays anglo-saxons, le "''produit vectoriel''", "''cross-product''" a gardé son " x ", et qui veut se repérer le peut encore. Chez nous, la privation de repères est la règle, et la confusion règne.

La forme de la loi de Biot et Savart appelle quelques simplifications. La projection anti-extérieure apporte-t-elle la solution ? En ce sens que le rayon-vecteur <math>\vec R</math> se projette anti-extérieurement sur le vecteur élément de courant <math>\vec{i.dl}</math> :

<math>d\breve B </math> = <math>\frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {(\vec R)^{-1} \wedge \vec{i.dl}}{R}</math>
 

Mais on peut trouver le dénominateur disgracieux.

La simplification est plus convaincante, en exprimant cette loi sous forme vectorielle, avec le potentiel vecteur <math>\vec A</math>, dont le gyreur <math>\breve B</math> est le rotationnel : <math>\breve B = r\breve ot(\vec A)</math> :

<math>d\vec A = \frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {\vec{i.dl}}{R}</math> = <math>\frac {\mu_0}{4\pi} . \frac {q.\vec{v}}{R}</math>

Physiquement, le potentiel vecteur <math>\vec A</math> reproduit la distribution des courants électriques, en l'adoucissant avec la distance ; il donne donc l'information "''il y a des courants électriques, pas loin''", exactement comme le potentiel de gravité reproduit l'information : "''il y a des masses gravifiques importantes, pas loin''", et le potentiel électrostatique reproduit l'information "''il y a des charges électriques, pas loin''".

Enfin, on réunit les deux lois : Ampère-Laplace, et Biot et Savart, en exprimant l'énergie d'interaction de 2 particules chargées : 
<math>L_{12} = - \frac{q_1.q_2}{4\pi\epsilon_0 R^2^}\left( 1 - \frac{\vec{v_1}.\vec{v_2}} {c^2}\right)</math> 
Attention, cette formule ne respecte pas l'invariance relativiste.

== Loi de l'induction électromagnétique ==

Pour exprimer la loi de l'induction mutuelle entre conducteurs, par exemple dans un transformateur, on a encore un rond dans un rond. Ils tournent en sens inverse (loi de Lenz).

[[Image: Lentz-dPhi.gif]]

On nomme la spire électrique <math>\delta\Gamma</math>, bord de la surface <math>\Gamma</math> s'appuyant sur cette spire.

<math>d\vec l</math> désigne l'élément de longueur sur la spire .

<math>d\breve S</math> désigne l'élément de surface sur une surface dont la spire forme les bords.

Expression générale sous forme vectorielle : <math>\vec E = -\frac{\vec{dA}}{dt} - \vec{grad} \phi</math>
 où <math>\phi</math> est le potentiel scalaire de l'électrostatique.

Et sous forme intégrale :
<math>{\compose{\LARGE O}{\int_{\delta\Gamma}} \vec E .\vec {dl} \hspace{5}=\hspace{5} -{\compose{\LARGE O}{\int_{\delta\Gamma}} \frac{\vec A }{dt} .\vec {dl}\hspace{5}=\hspace{5} -{\iint_{\Gamma}} \frac{\breve B}{dt} .d\breve S</math>

Ce qui se prononce ainsi : La circulation de <math>\vec E</math> le long de la spire, est l'opposé du flux de la dérivée de <math>\breve B</math> par rapport au temps, à travers une surface s'appuyant sur cette spire.

Le potentiel vecteur est un grand mal aimé de l'enseignement, du moins tant qu'on n'aborde pas la mécanique quantique, qui, elle, ne saurait s'en passer. Pourtant, regardez comme le lagrangien d'une particule dans un champ électromagnétique, est simple : 
<math>L = \frac{mv^2^} 2 + q(\vec A.\vec v - \phi)</math>

Cette expression simplifiée est valide pour des vitesses faibles devant la célérité de la lumière c.

= Quelles grandeurs physiques ont la nature géométrique de gyreurs ? =
Toutes sans exception font intervenir la partie infinitésimale d'une rotation infinitésimale, donc une différenciation antisymétrique. Nous y reviendrons plus loin avec la définition du rotationnel. La lettre '''R''' dans l’expression dimensionnelle désigne le radian : quotient de deux vecteurs perpendiculaires de même module.

== gyreurs stricts ==

Quotients de deux vecteurs du genre longueur, ils n'ont pas de longueur dans leur dimension physique.

{| border="0"
|+ gyreurs stricts
! Désignation
! Unité S.I.
! Monome dimensionnel
|-----
| Vitesse angulaire
| rad/s
| [Rad.T-1]
|-----
| Accélération angulaire
| rad/s2
| [Rad.T-2]
|-----
| Champ magnétique (<math>\breve B</math>)
| J.s.m-2rad-1.C-1
| [M.T-1.Q-1.Rad-1]
|-----
|
| ou '''tesla'''
|
|}

== gyreurs étendus ==

Produits extérieurs de deux vecteurs : dans leur dimension physique, ils ont le carré de la longueur.

{| border="0"
|+ gyreurs étendus
! Nature de la grandeur
! Unité S.I.
! Monôme dimensionnel
|-----
| Vitesse aréolaire
| m2.rad/s
| [L2.T-1.Rad]
|-----
| Moment d'une force, ou d'un couple
| J/rad
| [M.L2.T-2.Rad-1]
|-----
| Moment angulaire (et spin)
| J.s/rad
| [M.L2.T-1.Rad-1]
|-----
| Flux magnétique <math>\breve \phi</math>
|
| [M.L2.T-1.Rad-1.Q-1]
|-----
| Moment magnétique d'un aimant; d'une particule.
|
| [L2.T-1.Rad.Q]
|-----
|}

== Densités volumiques de gyreurs étendus ==

{| border="0"
|+ Densités volumiques de gyreurs étendus
! Nature de la grandeur
! Unité S.I.
! Monôme dimensionnel
|-----
| Densité volumique de moment angulaire.
|
| [M.L-1.T-1.Rad-1]
|-----
| Densité volumique de moment magnétique : le champ <math>\breve H</math> = <math>\frac {\breve B} \mu</math>
| radian-coulomb par mètre et par seconde
| [L-1.T-1.Rad.Q]
|-----
| c'est aussi une densité volumique de vitesse aréolaire de charge électrique.
|
|
|-----
|}

== Cogyreurs étendus ==

Produits extérieurs de deux covecteurs, ils ont le carré de la longueur en dénominateur.

{| border="0"
|+ Cogyreurs étendus
! Nature de la grandeur
! Unité S.I.
! Monôme dimensionnel
|-----
| Vitesse anti-aréolaire
|
| [L-2.T-1. Rad]

|-----
| Pour mémoire ?
|
|
|-----
|}

= Un gyreur opère la partie infinitésimale d'une rotation infinitésimale =

Pour les rotations, on a besoin de l'opérateur de rotation infinitésimale, qui se compose de l'identité, et d'un gyreur strict, opérateur de différentiation antisymétrique, qui agit généralement sur des vecteurs.

Le gyreur physique comprend une dimension physique. Il sert pour tout ce qui accompagne les rotations, et pour tout ce qui se déduit directement des rotations infinitésimales, en physique : vitesse angulaire, accélération angulaire, moment angulaire, couple, champ magnétique <math>\breve B</math>, dipôle magnétostatique.

Opérateur de différentiation antisymétrique, un gyreur n'a ni centre de rotation, ni axe de rotation, aucun sous-espace invariant (qui seraient indispensables pour décrire des rotations de solides[21]).

Un gyreur ne contient que les trois informations suivantes :

# sa direction de plan stable (sur lequel s'opère la projection),
# sa grandeur algébrique, décomposable en un quart de tour à droite ou à gauche, et un multiplicateur,
# une unité physique, contenant, sauf exception, la longueur à la puissance 2, ou 0 (ou -2 ?).

Sur E3, un gyreur a pour noyau (préimage de zéro) le sous-espace supplémentaire à son plan stable.

== Gyreur strict : opérateur associé à une rotation infinitésimale stricte ==

Opérateur associé à une rotation infinitésimale stricte, caractérisé par l'absence apparente de la dimension longueur. Absence apparente seulement, car il s'agit d'une longueur divisée par une longueur perpendiculaire. Cela semble ne faire ''rien'', mais ce rien n'est vrai qu'en repère orthonormé, et seulement à condition d'oublier le radian dans le monôme dimensionnel.

'''Sténo graphique du gyreur strict en relation avec deux vecteurs.'''

[[Fichier:Tourneur-sur-vecteur.gif]]

Le gyreur strict est quotient de deux vrais vecteurs <math>\vec U</math> et <math>\vec W</math>. Il est donc homogène à un angle (multiplié éventuellement par d'autres grandeurs physiques). Ceci représente bien une loi comme celle de l'accélération centripète, produit de la vitesse angulaire par la vitesse périphérique.
La sténo proposée est toujours située dans le plan stable, et sous-entend la projection préalable dans ce plan stable.

== Gyreur étendu (ou bivecteur) : opérateur d'inertie en rotation ==

Est homogène à un gyreur strict, multiplié par le carré d'une longueur (une surface).
'''Sténo graphique du gyreur étendu, en relation avec deux vecteurs.'''

[[Fichier:Prod_exter_V1V2.gif]]

Le gyreur étendu est produit extérieur de deux vecteurs vrais V1 et V2. On l'a représenté comme une surface grisée, car si les deux vecteurs étaient bien homogènes à des longueurs (multipliés éventuellement par d'autres grandeurs physiques), lui est bien homogène à une surface (multipliée éventuellement par d'autres grandeurs physiques).
Ceci représente bien une loi comme celle du moment angulaire, produit extérieur du rayon vecteur par l'impulsion. Ou le moment d'une force, produit extérieur de la force par le bras de levier.

== Densité volumique de gyreur étendu ==

Exemple : le champ <math>\breve H</math>, de dimension [L-1.T-1. Q]. Vérifions que ce gyreur <math>\breve H</math>, est bien une densité volumique de quelque chose à préciser :<math>L^3.\breve H</math>, de dimension : [L2 . T-1 . Q].
C'est bien la dimension attendue d'un gyreur : vitesse aréolaire d'une charge électrique autour d'un axe.

Il existe d'autres combinaisons moins fréquentes : cogyreur, en [L-2], capacité de cogyreur, en [L1]. En électromagnétisme, ceci peut encore se compliquer, par l'intervention de la célérité de la lumière c.

== Tables de multiplication EXTERNES ==

Vecteur, obtenu par produit contracté d'un gyreur et d'un vecteur, opération . :

<math>\ \large\left[ \begin{array}{c.cccc}&i&j&k\\ \hdash I&0&K&-j\\ J&-k&0&i\\ K&j&-i&0\end{array}\right]</math>

où i, j, k sont les vecteurs unitaires orthonormaux, K, I, J, sont les rotations unitaires (autrement dit, quarts de tour) dans les trois plans de base.

Gyreur, produit extérieur de deux vecteurs, opération ^ :

<math>\ \large\left[ \begin{array}{c.cccc}&i&j&k\\ \hdash i&0&Ku^2&-Ju^2\\ i&-Ku^2&0&Iu^2\\ k&Ju^2&-Iu^2&0\end{array}\right]</math>

où i, j, k sont les vecteurs unitaires orthonormaux, K, I, J, sont les rotations unitaires, quarts de tour dans les trois plans de base, et u l'unité de longueur.

== Associativité : rang trois ==
Produit extérieur d'un gyreur et d'un vecteur = tenseur antisymétrique de rang trois. Résultat nul en dimension deux. Une seule composante libre en dimension trois, sur une base orthonormale : 
permutations paires : i^j^k = j^k^i = k^i^j = u3.V (volume orienté dans l'ordre des vecteurs de base). 
Impaires : k^j^i = i^k^j = j^i^k = -u3.V (volume orienté dans l'ordre inverse des vecteurs de base). 
Avec V : unité de base, sans dimension, de tenseur antisymétrique de rang trois (ici sur l'espace R3).

Le produit extérieur de vecteurs non indépendants est toujours nul. Donc au delà du rang trois sur un espace de dimension 3, et au delà du rang 4 sur un espace de dimension 4, tout produit extérieur est nul.

== Une grandeur gyratorielle, c'est un gyreur, éventuellement multiplié par d'autres unités physiques non géométriques ==

Nous séparons les dimensions physiques en deux parties :

Une partie géométrique, contenant la longueur, donc la dimension du gyreur, usuellement [L2] ou [L0],

et le restant, qui peut contenir une unité de masse, une ou plusieurs fois l'unité de temps, l'unité de charge électrique, éventuellement le Kelvin (rarement un volume ou son inverse, ou c, célérité de la lumière).

Nous faisons donc une fois pour toutes, les mathématiques de la partie géométrique du gyreur.

= Coordonnées d'un gyreur, en repère orthonormé =
Nous menons le calcul sur l'exemple de la rotation uniforme, avec la relation : <math>\vec V \hspace{5}=\hspace{5} \breve\omega.\vec R\hspace{5}</math>, où <math>\breve\omega</math> relie deux vecteurs orthogonaux.

On vous fait grâce de la démarche heuristique, qui a été portée en annexe : [[calcul des coordonnées de gyreur vitesse angulaire]].

== Calcul simplifié ==

Il nous suffit de sélectionner deux positions du vecteur <math>\vec R \hspace{8}=\hspace{8} \vec{OM}</math>

Il est judicieux de prendre deux positions orthogonales entre elles : successivement <math>\vec{OM}</math> selon l'axe Ox, puis selon l'axe Oy, et de résoudre le système de 2 équations. On pose les vecteurs sous forme colonne.

[[Image: Cercle_trigo_omega.gif]]

. . .

D'où la solution : (coordonnées de <math>\breve\omega</math>) = <math>\omega.\left(\begin{array} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)</math>

On remarque qu'en repère orthonormal, les coordonnées mixtes se comportent comme des coordonnées homogènes, et sont sagement antisymétriques. Il ne reste bien qu'une seule coordonnée stricte non nulle. En repère non orthonormal, il faut revenir à la discipline de base, et n'antisymétriser que des coordonnées homogènes : entièrement covariantes, ou entièrement contravariantes. Nous y reviendrons.
Mais attention à un oubli qui pourrait nous coûter cher ultérieurement : le gyreur <math>\breve\omega</math> ne caractérise la rotation que du seul point de vue différentiel. A lui seul, il perd une constante d'intégration capitale : le sous-espace invariant. C'est à dire le centre de rotation dans le plan, ou l'axe de rotation dans l'espace R3. Souvenons-nous en quand nous étudierons le moment angulaire.

== Cas du gyreur étendu, produit extérieur ==

Les coordonnées d'un produit tensoriel de deux vecteurs, c'est un tableau carré, contenant chacun des produits de coordonnées (sur une même base), deux à deux. Sans en contracter aucune, contrairement au produit scalaire.

Produit extérieur : Faire le produit tensoriel de deux vecteurs représentés par leurs coordonnées de même variance sur une même base, et retrancher le transposé : 
<math>\breve U \hspace{8}=\hspace{8} \vec V \wedge \vec W \hspace{8}=\hspace{8} \vec V \otimes \vec W \hspace{4}-\hspace{4} \vec W \otimes \vec V</math>
, ou en coordonnées (ici contravariantes) : Uij = ViWj -WjVi .

Déroulons les coordonnées de <math>\breve U </math> en dimension deux :

<math>U^i^j \hspace{8}=\hspace{8} \left(\begin{array} 0 & V^xW^y - W^xV^y \\ W^xV^y - V^xW^y & 0 \end{array}\right)</math>

Et en dimension trois : <math>U^i^j \hspace{8}=\hspace{8} \left(\begin{array} 0 & V^xW^y - W^xV^y & V^xW^z - W^xV^z\\ W^xV^y - V^xW^y & 0 & V^yW^z - W^yV^z \\ W^xV^z - V^xW^z & W^yV^z - V^yW^z & 0 \end{array}\right)</math>

On a donné l'exemple entièrement en coordonnées contravariantes. La définition est similaire, sans surprises, en coordonnées toutes covariantes. Elle ne serait valide en coordonnées mixtes, qu'à condition que le repère soit orthonormé.

== Exercice. Utiliser le produit extérieur en quotient ==

Montrer que <math>\vec v \hspace{4}=\hspace{4} \breve\omega .\vec R</math> implique : <math>\breve\omega \hspace{4}=\hspace{4} \frac{\vec R \wedge \vec v}{||R||^2}</math> (La réciproque est fausse, sauf si <math>\vec R. \vec v \hspace{4}=\hspace{4} 0</math>).

Cela montre que comme en algèbre de quaternions (W.R. Hamilton, 1843), on sait calculer des "inverses", plus exactement des duaux, mais désormais, on respecte la covariance des lois physiques :

A tout vecteur non nul, on peut associer le covecteur dual ("inverse sur la même direction de droite") : <math>(\vec R )^{-1}</math> = <math>\frac {\vec R}{||R||^2}</math> .

Si <math>\vec R </math> est en mètres (une distance), <math>(\vec R )^{-1}</math> est en m-1 (un gradient), leur produit scalaire est le nombre unité : 1.

A tout gyreur, on peut associer le cogyreur dual ("inverse dans le plan stable") : <math>{\breve \omega}^{-1}</math> = <math>\frac {\breve \omega}{||\omega||^2}</math> .

= Trois traditions à l'épreuve des symétries =

== Tradition tout-vecteur : Heaviside (1893) ==

Cette façon cumule les deux erreurs majeures : 
'''C'est un bâton, et ça tient sur une droite. 
Ça ne tourne plus, ça court le long de la droite.''' 
(Il est vrai que sur un arbre lisse, une poulie folle peut coulisser ou tourner, ou les deux, et qu'à l'époque, on distinguait mal entre la physique, et la cinématique du solide indéformable.) 
[[Image:Trad-tout-vecteur.gif]]

Cette tradition est celle de l'enseignement technique français, et de toute l'électrotechnique.

Puis, pour justifier le tout-vecteur, ils ont propagandé des "masses magnétiques" (monopôles magnétiques) comme théorie du ferromagnétisme...

== Tradition universitaire minoritaire (depuis Pierre Curie ? 1894 ?) ==

'''Au moins, ça tourne, dans le même sens que le phénomène physique. 
Une seule erreur : c'est un bâton, dit "vecteur axial".'''

[[Image:Trad-vecteur-axial.gif]] 
Il existait un élément de cohérence, limitée exclusivement à un espace de dimension 3 : la fibre ainsi exhibée, munie du même sens de rotation que le plan stable, en est sa duale. On s'empêchait de traiter simplement les problèmes de dimension 2. On s'empêchait de passer facilement aux dimensions 4 et plus.

Et on appela ce bâton tournant "''vecteur axial''", sans se préoccuper de la contradiction : vecteur ou pas vecteur ? Et faute d'avoir pensé à achever le travail d'algébriste, on conserva le produit "''vectoriel''", que James Clerk Maxwell venait de dénoncer comme trompeur. Et si ce que l'on dessinait avait bien les bonnes symétries, ce que l'on calculait en avait toujours de fausses, qu'il fallait corriger après coup, à l'instinct, car on le calculait exactement comme pour un vecteur. A tort.

Ecrire les équations de Maxwell dans ce système semi-cohérent, était un pont aux ânes, que les auteurs ne franchissaient pas tous indemnes. Si Denis-Papin et Kaufmann déjouaient le piège laissé tendu par la notation de Gibbs, d'autres y tombaient.

Moins scrupuleux, d'autres, pour simplifier, enseignaient par défaut la version forte de la confusion (tout-vecteur), mais en cas de public plus perspicace, plus interrogatif, se dédouanaient par la version faible : nuance axiale. Puis on s'embrouillait, et on sautait de cheval au milieu du gué, en invoquant la profondeur des algèbres de Lie.

== Manière correcte : H. Grassmann 1844, G. Peano 1888, H. Weyl 1918, A. Einstein 1921, E. Cartan, J. Barbotte 1948. ==

'''Ça tourne, C'est dans un plan.''' [[Image:Tourneur-plan-rotation.gif]]

Les coordonnées s'écrivent donc avec deux rangs d'indices, alors qu'un seul rang convient aux vecteurs. Un vecteur tient sur une droite. Un gyreur tient sur un plan.

== Symétries comparées. ==

Le vecteur, même nuancé par l'adjectif "''axial''" - d'ailleurs à contresens : aucun axe n'existe - conduisait invariablement à une erreur de symétrie, dictée par l'outil mathématique inadéquat. Au contraire du gyreur, qui dans chaque cas a exactement le comportement exigé par sa signification.

Deux cas de "vecteur" parallèle au plan de symétrie : le vecteur est conservé, tandis que sa signification est retournée par la symétrie !

[[Image:Tourneur_retourne-vecteur-conserve.gif]]

[[Image:Tourneur_retourne-vecteur-conserve2.gif]]

Un cas où le "vecteur" est perpendiculaire au plan de symétrie. Il est retourné, tandis que sa signification est conservée par la symétrie !

[[Image:Tourneur-conserve.gif]]

L'enseignement du vecteur-à-la-place-de-la-rotation, a joué un autre tour pendable aux physiciens qui y ont cru : on leur a interdit les symétries, puisque le produit "vectoriel" n'y résiste pas. Cela les a dépouillés de la conscience de l'utilité élémentaire des symétries, et ça les a embrouillés d'une chiralité mystique qui n'a rien à voir avec les lois physiques, n'étant produite que par un choix erroné d'outil mathématique, voici 167 ans (1843).

La symétrie, ça sert d'abord à ramener de nouveaux problèmes, à des problèmes déjà connus, et résolus. On gagne donc du temps.

Ça sert aussi à appliquer le principe de Pierre Curie : L'effet est au moins aussi symétrique que la cause. Réciproquement, c'est la dissymétrie qui crée le phénomène. Ce principe est trop puissant pour qu'on puisse se permettre de s'en passer. Il permet notamment de prédire des nullités, ou des égalités, de certaines composantes. Par exemple la présence ou l'absence de piézoélectricité.

= Syntaxe algébrique et géométrique =
La règle de grammaire dimensionnelle des vecteurs et des gyreurs, oblige à un parfait isomorphisme avec la bonne règle physique. Une grammaire stricte est un garde-fou, indispensable aux physiciens. Pas seulement aux informaticiens (''Don't shoot yourself in the foot any more !'')...

== Comment corriger les anciens produits "''vectoriels''" de vos manuels. ==

Vous devez corriger vos manuels, loi par loi, des bévues qui, ''pour simplifier'', les obscurcissent. Concernant les anciens produits "vectoriels", on ne rencontre en pratique que quatre cas.

Pour trois d'entre eux, la règle de grammaire, est de repérer dans une ancienne formule, qui au juste est un gyreur. On trouve toujours un seul gyreur, en formule avec deux vecteurs. Il suffit souvent, mais pas toujours, de regarder son monôme dimensionnel, pour démasquer une grandeur physique mystérieuse.

Nous verrons plus loin le quatrième cas, avec le théorème d'Ampère.

Pour la clarté, nous écrivons les produits "''vectoriels''" à l'anglo-saxonne (à la façon du 19e siècle), avec une croix oblique (x), au lieu du V renversé (^), que nous réservons au seul produit extérieur, en mathématiques correctes.

=== Cas 1 : Produit extérieur de vecteurs = gyreur étendu ===
Presque la même écriture, en apparence. Pas la même signification. On garde la liberté d'utiliser l'anticommutativité, pour éliminer le signe + ou - qui nous semble disgracieux.

C'est donc une loi en : <math>\vec V \wedge\vec W \hspace{4}=\hspace{4} \breve U</math> [[Image:Prod_exter_V1V2.gif]]

=== Cas 2 : Un gyreur multiplie un vecteur = un vecteur perpendiculaire. ===
Pas de liberté pour le choix du signe : l'opérateur gyreur est à gauche, le vecteur opéré est à droite. 

C'est donc une loi en : <math>\breve V.\vec W \hspace{4}=\hspace{4} \vec U</math> [[Image:Tourneur-sur-vecteur.gif]]

On n'anticommute que des êtres de même nature. Une formule : <math>\frac{\vec U \times \vec V}{||U||^2} \hspace{4}=\hspace{4} \vec W </math>, avec <math>\breve U</math> gyreur, ce qui implique <math>\vec V.\vec W</math> = 0, se traduit en mathématiques correctes par : <math>\breve U. \vec W = -\vec V</math>.

=== Cas 3 : Quotient extérieur de vecteurs = gyreur strict. ===

Une formule : <math>\frac{\vec U \times \vec V}{||U||^2} \hspace{4}=\hspace{4} \vec W </math>, dans le cas où <math>\breve W</math> est le gyreur, se traduit en mathématiques correctes par : <math>\frac{\vec U \wedge \vec V}{||U||^2} \hspace{4}=\hspace{4} \breve W </math>.

=== Cas 4 : trois gyreurs, aucun vecteur. ===

C'est l'héritage exact des produits de quaternions imaginaires purs, mais restreint au cas des quaternions imaginaires purs, et orthogonaux entre eux.

== Position dans le livret de famille des multivecteurs ==

[[Image:Livret_fam_multivecteurs.gif]]

Les gyreurs stricts, et les gyreurs étendus (bivecteurs), ont la même symétrie. Ce sont tous des tenseurs antisymétriques de rang 2. Les vecteurs et les covecteurs, sont les tenseurs de rang 1. Les scalaires, tels que la température, sont les tenseurs de rang 0 (zéro). L'enseignement de la physique élémentaire n'a pas besoin d'autres tenseurs de rang 2, autres qu'antisymétriques, excepté pour le moment d'inertie d'un solide.

== Difficulté peu utile : le théorème d'Ampère ==

Le théorème d'Ampère énonce l'égalité de deux tenseurs antisymétriques de rang trois dans un espace R3. Il n'ont donc qu'une seule composante stricte ("pseudo-scalaire" : faux scalaire).
On nomme <math>d\Gamma</math> le bord de la surface <math>\Gamma</math>, et <math>I_{\Gamma}</math> l'intensité à travers la surface <math>\Gamma</math>.
Le signe '''^''' désigne bien un produit extérieur, ici d'un tenseur de rang deux par un tenseur de rang un.
<math>d\vec s</math> désigne l'élément de longueur sur <math>d\Gamma</math>.

<math>{\compose{\LARGE O}{\int_{d\Gamma}} \breve B \wedge d\vec s \hspace{5}=\hspace{5} \mu_0\hspace{4}I_{\Gamma}</math> , de dimension [M.L.T-1.Q-1] [[Image:Theor-Ampere.gif]]

Il n'existe pas ici de sténo graphique plane. De part et d'autre du signe = (égale), le problème est vraiment tridimensionnel, et des deux côtés, l'orientation de la surface, et de son bord sont arbitraires.

== Difficulté réelle : lien entre moment angulaire et moment d'inertie ==
Question non traitée ici.

L'original est à l'adresse http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/SYNTAXE2_.pdf

== Les équations de Maxwell, débarbouillées par Albert Einstein en 1921 ==

Source : première conférence de Princeton, 1921.

La confusion "tout-est-vecteur", avait fait permuter divergence et rotationnel sur les gyreurs déguisés en vecteurs. Les deux divergences reprennent leur vraie place, liées à la conservation de la charge électrique.

<math>\vec{Div} (\breve B) \hspace{5}=\hspace{5} \mu_0 \vec J \hspace{5}+\hspace{5} \frac 1 {c^2} . \frac {\partial \vec E}{\partial t} \hspace{5}(\hspace{5}=\hspace{5} \frac{\partial B^{\mu\lambda}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}\vec {e_\mu}\text{, en coordonnees.)}</math> 

<math>div \vec E \hspace{5}=\hspace{5} \frac \rho {\epsilon_0}</math> 

<math>\frac{\partial B_{\mu\nu}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\nu\lambda}}{\partial x^\mu} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\lambda\mu}}{\partial x^\nu} \hspace{5}=\hspace{5} 0</math> 

<math>r\breve ot (\vec E ) \hspace{5}+\hspace{5} \frac {\partial \breve B}{\partial t} \hspace{5}=\hspace{5} 0</math>

Mises en tableau avec leur dimension physique et leur nature géométrique :

{| border="4"
|+ Equations de Maxwell
! Equation
! Monôme dimensionnel
! Nature géométrique
|-----
| <math>\vec{Div} (\breve B) \hspace{5}=\hspace{5} \mu_0 \vec J \hspace{5}+\hspace{5} \frac 1 {c^2} . \frac {\partial \vec E}{\partial t} \hspace{5}(\hspace{5}=\hspace{5} \frac{\partial B^{\mu\lambda}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}\vec {e_\mu}\text{ en coordonnees.)}</math>
| | [M.L-1.T-1.Q-1]
| Egalité vectorielle
|-----
| <math>div \vec E \hspace{5}=\hspace{5} \frac \rho {\epsilon_0}</math>
| [M.T-2.Q-1]
| Egalité scalaire
|-----
| <math>\frac{\partial B_{\mu\nu}}{\partial x^\lambda} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\nu\lambda}}{\partial x^\mu} \hspace{5}+\hspace{5} \frac{\partial B_{\lambda\mu}}{\partial x^\nu} \hspace{5}=\hspace{5} 0 </math> <math>\hspace{15}</math>
| [M.L-1.T-1.Q-1.R-1]
| Rotationnel du rotationnel <math>\breve B</math>, nul. Ou différentielle d'une différentielle de forme différentielle <math>\vec A</math>.
|-----
| <math>r\breve ot (\vec E ) \hspace{5}+\hspace{5} \frac {\partial \breve B}{\partial t} \hspace{5}=\hspace{5} 0</math>
| [M.T-2.Q-1.R-1]
| Somme gyratorielle nulle
|-----
|}

Enfin propres, enfin rationnelles envers les quatre dimensions d'espace et de temps, ces équations sont clairement les projections des deux équations quadridimensionnelles. Elles n'incitent plus à inventer de mythiques monopôles magnétiques, pour justifier la faute mathématique originelle.

= Conclusion : un rond dans un rond et qui tournent pareil. =

Un rond dans un rond et qui tournent pareil, voilà tout l'appareillage mathématique à dessiner sur votre feuille, et à mimer avec les mains, pour comprendre les subtilités de l'électromagnétisme, du magnétisme notamment. C'est vraiment trop intellectuel et trop abstrait pour vous ?

C'est applicable aussi immédiatement pour prévoir la pression de radiation de tout rayonnement électromagnétique.

== Rappelez-vous l'expérience en page d'accueil : ==

Le jet d'électrons dans de l'hydrogène raréfié, dans un champ magnétique uniforme, prend une trajectoire circulaire.
 [[Image:Filifori.jpg]]

 Et l'appareillage complet, avec les deux bobines de Helmholtz qui produisent ce champ magnétique : ''un rond dans un rond et qui tournent pareil''

[[Image:Leybold3R.jpg]]

Et la théorie au complet :

[[Image:Spire-champ-deviation.gif]]

Au moins en qualitatif, et avec la ruse que le corps d'épreuve est l'électron, qui a une charge négative.

== Avez-vous des questions, des objections, des demandes nouvelles ? ==

Les pages de discussion, parallèles à chaque page de cours, sont à la disposition des inscrits.

Sinon, une rubrique spécialisée est présente sur les forums suivants : 
http://deonto-famille.org/citoyens/debattre/index.php?board=8.0 
http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/disputatio/viewforum.php?id=8 (hélas le serveur est souvent en panne, chez SFR).

Les grandeurs physiques

2015-09-18T12:58:15Z

Jacques Lavau : Page créée avec « == Beaucoup plus de propriétés que les nombres, plus de contraintes et de garde-fous aussi == === Abstraire ? === '''ABSTRAIRE''' : c’est se dispenser de regarder un... »

== Beaucoup plus de propriétés que les nombres, plus de contraintes et de garde-fous aussi ==

=== Abstraire ? ===

'''ABSTRAIRE''' : c’est se dispenser de regarder un certain nombre (souvent un très grand nombre) de propriétés et de particularités (étymologie : ''trahere'' tirer, ''ab'' hors de, à partir de). Autrement dit, en termes ensemblistes, une abstraction est un ensemble quotient par l’ensemble des classes d’équivalence. A charge pour l’analyste d’écrire noir sur blanc la relation d’équivalence, et d’exhiber les preuves que cela tient bien la route.

Corollaires : abstrait n’implique pas « mieux » ! C’est la tâche de l’analyste que de vérifier et de prouver que dans le procédé d’abstraction qu’il a choisi, il n’a pas commis de fautes professionnelles, qu’il n’a pas écarté des propriétés vitales. Ensuite il doit prouver que son abstraction est efficace en productivité, et enfin, si c’est possible, qu’elle est optimale.

L'abstraction maîtresse dans l'histoire de l'humanité, ce sont certainement les nombres. 
Agés de trois semaines, nos bébés distinguent clairement un babar (poupée représentant l'éléphant Babar) de deux babars, deux babars de trois babars. Les pigeons et les pies adultes font aussi bien. C'est vers trois, quatre ou cinq objets identiques que ces capacités innées perdent pied, se laissent tromper. Une pie qui a vu quatre hommes (d'aspects similaires entre eux) entrer dans une cabane, et trois seulement en ressortir, ne flaire pas le piège : elle n'a pas repéré la différence si les habits et les apparences (par exemple les voix, ou les rythmes de gestes) sont suffisamment similaires.

'''Les nombres sont tout-abstraits'''. Le nombre "''quatre''" n'est pas "''quatre ânes''", ni "''quatre cailloux''", mais ce qui est commun entre eux, par la relation "''On peut établir une bijection'' (une relation un pour un) ''entre ces deux collections''", respectivement d'ânes et de cailloux. C'est donc une '''classe d'équivalence''' : la relation est symétrique, réflexive, transitive. 
On sait que nos ancêtres Magdaléniens vivaient la lente et longue transition de chasseurs de rennes vers éleveurs de rennes. Ils savaient chasser des troupeaux vers des enclos, où ils pouvaient en choisir et en capturer, répartir cette propriété entre plusieurs familles de plusieurs clans. Ils ont donc dû inventer comment compter. Passer un caillou d'un tas à un autre à chaque animal qui entre dans un enclos, ou qui passe dans un sous-enclos, est une solution largement pratiquée. Une solution plus portative est de tailler une encoche dans un bâton, par animal de la collection. Les chiffres romains dérivent directement de cette numération primitive faite par des peuples de bergers.

Mais un nombre tout court, a des propriétés différentes d'un "nombre de quelque chose". Un troupeau de quatre oies n'a pas les propriété d'un troupeau de quatre rennes adultes, qui n'a pas les propriétés d'une harde de quatre mammouths... Un bosquet de quatre pins n'a pas les propriétés d'un bosquet de quatre bouleaux. Le nombre quatre est dispensé de tout cela. Les additions qui sont libres entre nombres, sont sérieusement contraintes entre nombres-de-quelque-chose. 
D'une part les deux collections doivent être distinctes, sans éléments communs, et d'autre part leur réunion doit être encore un ensemble qui ait du sens et de l'usage, où les éléments aient quelque équivalence en commun.

=== Ensembles disjoints ! ===

Sur le toit en terrasse d'une ancienne usine reconvertie en HLM, quelques appartements dépassaient, via un escalier en colimaçon, et un second étage construit en Siporex et une isolation externe. Ma fille fut vite séduite par un charmant chaton, qui venait nous rendre visite et laper tout ce qu'on lui donnait de bon à boire et à manger. Le chaton apprenait très sérieusement à chasser les pigeons. Toutefois d'un appartement-îlot voisin, un autre petit garçon appelait le chaton, pour la croustance et le rentrer la nuit. Si vous réunissez le chat de ma fille, et le chat du voisin, cela fait une collection de deux chats, ou d'un seul chat ?

Même genre : sur la fin de sa première traversée de l'Océan Atlantique, à bord du Kurun, Jacques-Yves Le Toumelin annonce à son équiper Fargue :
 "''Le premier qui aperçoit la terre aura droit à deux rasades de rhum, le second à un seul verre de rhum, et le dernier à un coup de pied au cul !''"
 "''A quoi aura droit l'avant-dernier ?''" réplique Fargue.
 Voyons ? Le premier, le second, l'avant-dernier, le dernier, ça fait bien un équipage de quatre personnes ? Vous êtes sûrs ? 
Après avoir débarqué son équipier à la Martinique, Le Toumelin continua seul son tour du monde.

Ça c'était pour la nécessité que les éléments des deux collections à réunir soient bien distincts, sans recouvrements.

=== L'ensemble réunion doit avoir une cohérence indiscutable ===
Voici un autre gag dû à René Goscinny : 
Les casques et les armures fortement cabossés, des légionnaires romains font l'addition suivante à leur supérieur : 
"- ''Ave centurion ! Nous avons été attaqués par une troupe gauloise très supérieure en nombre ! 
- ''Donnez moi leur signalement ! 
- ''Ben, un gros et un petit, et un petit chien, et ils portaient chacun un sanglier sur le dos. 
- ''Ils étaient cinq, quoi !''"

Un peu de réflexion. OK pour compter les deux guerriers gaulois comme un seul ensemble. Il arrive, avec bien des ''si'' et des ''mais'', qu'un canidé fasse équipe avec des humains dans le combat. En pareil cas, oui on pourrait compter trois combattants. Avec des acrobaties intellectuelles douteuses, on pourrait mettre ensemble les deux suidés morts et le canidé vivant : tous trois dégagent une odeur de fauve, peut-être ? Ou tous trois pourraient servir de repas à une famille d'ours, ou à une meute de loups. Mais les compter tous les cinq comme "''une troupe gauloise très supérieure en nombre''" ? Heu... Vous êtes sûrs que ce soit là un ensemble pourvu de cohérence ? Avec une relation d'équivalence entre ses cinq éléments ?

En revanche, ils pourraient être ensevelis tous les cinq par un glissement de terrain ou une avalanche, et leurs ossements être démêlés longtemps après par une même équipe d'archéologues ou de paléontologues.

=== Flous et erreurs irréductibles ===

Enfin, il est fréquent qu'une collection ne soit définie qu'avec un flou irréductible. Chose impensable pour un nombre pur.

Prenons l'exemple de la population de la France : à tout instant, il meurt des gens, il naît des bébés, des gens entrent, d'autres sortent. D'autres disparaissent, d'autres entrent subrepticement, des agents clandestins emprunteront plusieurs identités tour à tour... Pendant ce temps là, compter les gens prends du temps de recenseurs, qui ne peuvent être partout. 
Quelles que soient les précautions méthodologiques prises lors du recensement, il subsiste des marges d'erreurs et d'incertitudes irréductibles, et ces marges d'erreurs dépendent des méthodes et des moyens du comptage. Nous sommes donc contraints de distinguer plusieurs étages dans les abstractions à partir de la réalité complexe et partiellement insaisissable de la population du pays.

== Inscription dans un un schème d'abstractions normalisables interprofessionnelles ==

'''Les grandeurs physiques sont semi-abstraites''', et gardent une propriété du monde réel, dont les nombres sont dispensés : u'''ne signification, une unité-étalon, et la grammaire de variance qui y est associée'''.

Les grandeurs physiques sont dispensées des propriétés fort compliquées des mesures, et des résultats de mesures (avec toutes leurs sortes d'incertitudes et d'erreurs), et de celles du stockage de ce résultat sur un papier ou dans une machine électronique, avec ses problèmes de largeur et de résolution limitées.

Pour les grandeurs concrètes et les grandeurs physiques, l'égalité a un sens, '''si l'on sait définir un protocole de comparaison et de mesure'''. Par exemple, comparer deux longueurs, comparer deux aires, ou comparer deux lots de paquets de lessive, sous fardelages différents. A ce prix, nous avons le droit d'écrire une égalité de grandeurs, même en unités inhomogènes, comme :

1 tour = 2<math>\pi</math> radians.

La grandeur physique est définie comme l'abstraction commune à ce qui dans la réalité est justifiable de la même famille de protocoles de mesure, dont la précision et le coût peuvent être très différents, mais qui ont tous pour objet de comparer une même sorte de grandeur. Par exemple une longueur, ou une masse au repos.

C'est donc aussi une classe d'équivalence. Elle est bien moins abstraite qu'un nombre, car elle est un '''descripteur de quelque chose'''. Elle est tenue à la syntaxe inhérente à la vocation sémantique de chaque grandeur physique.

Nous allons avoir besoin de caractériser ces grandeurs pratiques et concrètes d'une part (par exemple 500 flacons d'un médicament), et ces grandeurs physiques d'autre part, par leur lien avec une grandeur unité, et avec l'ensemble des nombres réels. Nous allons donc définir les grandeurs scalables. Nous aurons aussi besoin de distinguer entre les grandeurs arbitrairement scalables, et les grandeurs nombrables, pour lesquelles existe une unité absolue définie par la nature, et non par une simple convention dans société humaine.

En 1873, James Clerk Maxwell consacrait le premier paragraphe de son ''Treatise'' (Clerk Maxwell 1873) à expliquer que toutes les grandeurs physiques sont le produit d'un nombre par un échantillon de cette grandeur, appelé unité.

Prenons la largeur de cette feuille de papier, qui sort de mon imprimante. Elle mesure 21 cm; ou 210 mm; ou 0,21 m. Or, il n'existe aucune fonction à valeur de nombre réel ayant la propriété que : 21 = 210 = 0,21.

Tandis qu'il est parfaitement correct d'écrire que : 21 cm = 210 mm = 0,21 m.

Ces deux égalités ne sont pas écrites entre nombres, mais entre grandeurs physiques. Elle dénotent des classes d'équivalences déterminées par les principes des mesures. Ici, seuls les principes d'au moins un protocole de mesure des longueurs, au moins un principe de construction des appareils de mesure, et des campagnes de mesures vérifiant l'équivalence et la bonne adéquation de ces appareils et de ces protocoles, peuvent justifier la définition de la grandeur physique, et les conditions de l'égalité.

 [[Image: Schema_abstraire.gif]]

Une distinction sera utile par la suite :
# Une grandeur est dite '''nombrable''' si elle est par nature multiple entière d'une unité donnée par la nature. Aux naissances près, et à la croissance près des poulains, l'effectif d'une harde de chevaux est nombrable. Une charge électrique est toujours multiple entière (éventuellement fluctuante) de la charge élémentaire d'un électron ou d'un proton, c'est donc une grandeur nombrable. Les nombres baryoniques, ou nombre de nucléons dans la matière, sont aussi des grandeurs nombrables. Dans les entrepôts, les nombres de cartons de telle marchandise, sont par excellence nombrables, et les cachets dans une boîte de médicament aussi. Bien sûr, nous considérons un cachet de médicament, une boîte de 30 cachets, et un carton normalisé de ces médicaments, comme des unités naturelles, aussitôt qu'ils sont fabriqués. Ce sont bien des objets concrets, qui s'imposent comme tels au comptable ou au magasinier.
# Une grandeur est arbitrairement '''scalable''', ou en abrégé "scalable", si le choix de l'unité physique est laissé à un arbitraire humain. Ainsi les tensions électriques, les intensités du courant électrique, les masses, les longueurs, les durées, etc. dont les étalons sont dûs à des décisions humaines, aussi nécessaires qu'arbitraires. Soit la majorité des grandeurs physiques dont s'occupe le physicien, à la limite toutes les grandeurs macroscopiques tant qu'on est très loin de la limite atomique.

== Cinq règles d'usage pouvant servir d'axiomes : ==

# On ne peut additionner (ou retrancher) que des grandeurs de même nature. Encore faut-il qu'elles soient des grandeurs extensives. Pour les grandeurs intensives, ce peut être exclu, cas de la température par exemple, ou restreint à des dispositions expérimentales contraignantes.
# On peut multiplier une grandeur physique nombrable par n'importe quel nombre entier. On peut multiplier une grandeur physique arbitrairement scalable par n'importe quel nombre réel.
# Dans la famille des grandeurs physiques, écrire une égalité, suppose qu'on a réussi à définir une méthode expérimentale, et des instruments, pour comparer. On a alors le droit d'écrire une égalité entre grandeurs, comme 210 mm = 21 cm. Nous exprimons la grandeur physique comme le produit d'un nombre, par une unité de cette grandeur. Il faut avoir défini ou construit un étalon de cette grandeur-unité.
# Toute grandeur physique a un inverse, et il n'est pas nécessaire de définir à nouveau une méthode de mesure. Exemples : un décamètre est gradué à 100 divisions par mètre. L'inverse du mètre s'écrit m-1.
# On est libres de multiplier une grandeur physique par n'importe quelle autre grandeur physique; ou de diviser par une grandeur physique non nulle. Cette opération est externe : elle génère une autre grandeur physique distincte.

Savoir si le résultat a un intérêt pratique, n'est que la question suivante. On peut montrer que les résultats réellement pratiques forment une structure assez simple et remarquable.

Enfin ces propriétés bien agréables de linéarité ne sont valides que dans un espace comparable au nôtre : faible gravité, états gazeux ou modérément condensés, températures modérées. Dans une étoile à neutrons, notre physique familière aurait beaucoup de surprises.

== L'analyse dimensionnelle, premier garde-fous du physicien. ==

Dès le 17e siècle, Marin Mersenne faisait un usage judicieux et fécond de l'analyse dimensionnelle.

Reprenons son exemple, mais avec le système d'unités moderne MKSA : '''de quoi dépend la période d'un pendule pesant ?'''

Le pendule pesant se caractérise par l'accélération de la pesanteur là où il est, uniforme à l'échelle des mouvements du pendule, sa masse, la distance du centre de gravité à l'axe de suspension ou au point de suspension, et l'angle maximal des oscillations (angle pris par la tige par rapport à la verticale, si pendule simple). 
Gravité g : L. T-2, 
Masse m : M, 
Longueur a : L, 
Période T : T. 

Il n'y a qu'une seule combinaison (valide aux petits angles) qui donne la bonne dimension, des secondes : 
T = {coefficient numérique} * <math>\sqrt{\frac a g}</math> 
Il ne reste plus qu'à déterminer si le coefficient numérique est 1, ou <math>2\pi</math>, ou l'inverse, <math>{\frac 1 {2\pi}</math>. Cela dépend essentiellement de l'unité d'angle du problème : radians ou cycles. Ici, il faut remonter à l'équation du mouvement, en approximant l'énergie potentielle au premier terme de son développement limité : 
m.g.h = m.g.a.<math>\frac {\theta^2} 2</math>
 où l'angle <math>\theta</math> est en radians. 
On écrit que l'énergie mécanique est constante, donc sa dérivée est nulle, d'où il résulte que le carré de la pulsation est <math>\frac g a</math>. 
D'où le coefficient <math>2\pi</math> pour la période : <math>T = 2\pi.\sqrt{\frac a g}</math> 

La masse ne joue aucun rôle dans la formule.

== La variance des grandeurs scalables ==

Par définition, on peut les rapporter à une unité : elles sont le produit d'une grandeur-unité par un nombre réel.

Par conséquent, si l'on change l'unité de mesure d'une grandeur scalable, le quotient de cette grandeur (par exemple un prix) par son unité est contravariant à cette unité. Dans les classes primaires, ce nombre quotient est désigné comme "''le nombre exprimant la mesure de'' ...", ce qui est trop lourd. Dans les espaces de dimension supérieure à 1, chacun de ces quotients, serait désigné comme "coordonnée", ce qui ici, serait prématuré. Il faut trouver mieux pour ce stade. Je suggère : "''multiplicateur''", ou "''quotient''".

Exemples : On peut s'acquitter d'une dette de mille francs, avec deux billets de 500 F, ou vingt billets de 50 F. On peut expédier 60 tonnes de marchandises, par 3 camions de 20 tonnes, ou par 2 camions de 30 tonnes. Cette page mesure en large 21 cm, ou 210 mm, ou 0,21 m. 21 cm = 0,21 m : '''le quotient est contravariant au diviseur'''. Quand l'unité est 100 fois plus grande, alors le quotient (de la grandeur par l'unité de base) est 100 fois plus petit. Autrement dit, '''les quotient varient au contraire de l'unité de base, afin d'avoir compétence à désigner la même grandeur'''.

Schéma : Grandeur scalable = quotient * grandeur-unité.

Et si l'unité est composée ? Si l'essence est à 5,60 F le litre, et que le dollar est à 5,60 F, alors l'essence est à 1$ le litre : contravariance. Mais elle est à 3,785 $ par gallon, ou encore à 21,20 F par gallon, puisqu'un gallon vaut 3.785 litres : covariance. Ce prix par unité de volume, varie comme l'unité de volume.

Le nombre qui exprime ce prix de l'essence, est '''covariant''' à l'unité de capacité : il grandit ou rapetisse comme elle. Ce nombre est contravariant à l'unité monétaire : il grandit ou rapetisse à l'envers de l'unité monétaire. Bizarrement, ces mots de covariance et de contravariance, n'étaient entendus qu'en fin d'études supérieures, alors que les phénomènes désignés, sont rencontrés dès les classes primaires. Rencontrés, mais ignorés dès le passage dans l'enseignement secondaire. C'est une lacune regrettable, car les notions de variance sont le coeur même de la mesure et de la physique. Cette syntaxe des unités physiques, a presque toujours été sous-estimée. Les mathématiciens n'ont jamais daigné s'y intéresser, et trop de physiciens sont trop inadvertants pour en tirer toutes les conséquences.

== En grandeurs physiques, les conversions d'unités coulent de source ==

Calcul d'une longueur d'onde : "Longueur d'onde" = "célérité" . "période" 
Les autres combinaisons possibles, que bien de nos élèves lancent au hasard, ne donneront jamais des mètres. 
L = L/T . T

"Longueur d'onde" = 343 m/s . 0,025 s = 343 . 0,025 s.m/s = 343 . 0,025 m = 8,6 m 

Toutes les conversions d'unités coulent alors de source. On s'impose de '''n'écrire que des égalités vraies en grandeurs physiques'''.
 Par exemple, pour traduire une masse volumique (ici celle d'un acier) donnée dans des unités non S.I., vers le Système International, on commence par écrire la tautologie :

7,8 . <math>\frac g {cm^3^}</math> = 7,8 . <math>\frac g {cm^3^}</math>
 Jusqu'ici, on n'a certainement violé ni la physique, ni la mathématique.

Puis on multiplie le second membre par une fraction égale à 1. On la choisit de façon à faire apparaître les éléments d'unités voulus, et faire disparaître, par simplification, les éléments d'unités indésirables. Ici on veut faire disparaître grammes du numérateur, et y faire apparaître kilogrammes, faire disparaître cm3 du dénominateur, y faire apparaître m3. Procédons en deux étapes :

7,8 . <math>\frac g {cm^3^}</math> = 7,8 .<math>\frac g {cm^3^}</math> . <math>\frac {1 kg}{1000 g}</math> . <math>\frac{1000 cm^3}{1 dm^3}</math> = 7,8. <math>\frac{kg}{dm^3}</math>
 (commutativité nombre.unité)

7,8.<math>\frac{kg}{dm^3}</math> = 7,8.<math>\frac{kg}{dm^3} . \frac{1000 dm^3}{1 m^3}</math> = 7800 <math>\frac{kg}{m^3}</math>.

Aux élèves doués, la méthode peut paraître lourde, peu valorisante, et socialement peu sélective. Ils préfèrent deviner le bon résultat, au flair. Mais tous les autres élèves préfèrent cette méthode : elle est incassable !

== Mettre en équations, garde-fous par les unités et l'analyse dimensionnelle. ==

Voici le schéma ci-après, donné en classe, des deux étages d’abstraction dans la résolution d’un problème par l’algèbre.

[[image: Poser_equations.gif]] 

 · Première abstraction : du problème formulé par le client, vers une schématisation des phrases d’énoncé, l’écriture d’un dictionnaire des variables et de leurs symboles (que ce dictionnaire ait une, deux ou dix entrées) et la transcription par la pose d’un système d’équations.

· · Seconde abstraction, quand la vérification dimensionnelle est terminée et ne révèle plus d’erreurs, alors résoudre le sous-système numérique, par les méthodes algébriques.

· · Seconde désabstraction : restituer les unités physiques, pour répondre en grandeurs physiques au problème physique.

· Première désabstraction : répondre dans le langage du client, dans des termes qui lui sont accessibles, et qui répondent à son problème.

== Opérateurs de proportionnalité ==

Si je commande un tissu au mètre, et que le prix du mètre est de 3,90 euros, l'opérateur de proportionnalité qui transforme les mètres en prix du coupon, est "multiplier par 3,9 €/m".

S'agissant d'un envoi par la poste ou un transporteur, le vendeur ajoute un frais d'expédition, que pour simplifier, nous allons considérer fixe, à dix euros. 
Soit un nouvel opérateur "Ajouter 10 €".

On peut inverser cette opération, pour répondre à la question : "J'ai tel budget. Quel métrage de ce tissu puis-je acheter ?". 
Cela donne la successions d'opérations suivantes : 
Retrancher dix euros au budget. 
Diviser par le prix du mètre. 
Prendre la partie entière de ce résultat en mètres : le vendeur ne compte que des mètres entiers. 

=== L'opérateur demi-tour ===

L'examen de la littérature scientifique du 18e et du 19e siècle, par exemple l'article écrit par Jean le Rond d'Alembert pour l'Encyclopédie, "''Nombres négatifs''" met en évidence les difficultés nées de la confusion entre nombres et opérateurs. La notion de nombre, triomphante depuis l'Antiquité avec Pythagoras, dévorait celle d'opérateur. D'Alembert concédait que les règles de calcul sur les nombres négatifs étaient correctes, tout en maintenant qu'ils étaient embarrassés sur leur interprétation.
Que '''-1''' soit un nombre, pourquoi pas ?
Mais ce qui est sûr, c'est que '''multiplier par -1''' est un opérateur.

Beaucoup de nos élèves perdent pied à ce moment là : personne n'avait pensé à leur donner d'image ni d'application parlante, de référence concrète pour ces opérateurs, ni leur champ d'application.

Prenant de ces paumés en B.E.P., je rattrapais leur retard en posant le support, une droite orientée, un de ces axes où l'on pose des abscisses, pour peu qu'on ait défini un vecteur unité dessus. Une parenthèse, je leur donnais l'image d'un autobus miniature, ou d'un wagon miniature, avec des voyageurs dedans. Multiplier cette parenthèse par -1, revenait à retourner le wagon (et ses passagers inclusivement). Multiplier deux fois par -1, c'était faire deux fois un demi-tour, soit revenir à l'orientation initiale.

Nous y reviendrons, avec l'opérateur quart-de-tour, applicable à des vecteurs.

== Liens vers les chapitres suivants, grandeurs géométriques de la physique ==

[[Vecteurs, définition, propriétés]] 
[[Métrique des grandeurs vectorielles en physique]] 
[[Les quart-de-tours entre vecteurs : gyreurs]] 

== Bibliographie et Références ==

APMEP, Commission Mots, n° 6 : '''Grandeurs et mesures'''. APMEP, 1982, Paris. Brochure n° 46.

André Pressiat. [http://www3.ac-clermont.fr/pedago/maths/pages/site_math_universite/CD-UE//Texte_12b.doc Calculer avec les grandeurs] Actes de l'Université d'été de Saint-Flour.

André Pressiat. '''Quotients - Proportionnalité - Grandeurs'''
[http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/reflexionpro/conferences/confpressiat/Quotients.pdf Quotients - Proportionnalité - Grandeurs]

Jean-François MUGNİER. [http://math.u-bourgogne.fr/IREM/fichiers_images/Feuilledevigne/2006/mugnier100.pdf Recherche et rédaction de problèmes au Collège]. Feuille de Vigne n° 100 – Juin 2006.

Cahier des charges : grandeurs physiques, vecteurs, gyreurs

2015-09-18T12:57:07Z

Jacques Lavau : Page créée avec « == Le triangle sémantique-références expérimentales == Cette théorisation minoritaire semble originale, et due à Danièle Morange, alors assistante à l'Université... »

== Le triangle sémantique-références expérimentales ==
Cette théorisation minoritaire semble originale, et due à Danièle Morange, alors assistante à l'Université Lyon 2.

Elle insiste sur le fait que la seule opposition entre signifiant et signifié, qui semblait suffire aux linguistes, est largement insuffisante pour les tâches pédagogiques : l'enseignant et encore plus l'élève ont besoin des situations concrètes de référence, où l'on se confronte à la réalité que l'on prétend traiter par des symboles de langage et/ou de dessin.

Depuis que nos enfants sont tout petits, ils apprennent par confrontation : le concept de "lapin" s'acquiert en fréquentant des lapins. Très peu de nos enfants ont vu en vrai des fous de Bassan plonger pour attraper le poisson qui s'échappe de la poche du chalut, mais nous pouvons leur faire voir des photos ou des films, et ils sauront identifier la particularité la plus spectaculaire des fous de Bassan : c'est bien une expérience sensorielle valide, quoiqu'indirecte.

Les mathématiques, la géométrie sont issus de gestes de métiers. Ces métiers ont pu disparaître, ou sont encore actuels, l'essentiel est que nous sachions y faire une référence exacte. Un menuisier fera le même meuble, qu'il tienne sa fausse équerre dans un sens ou l'autre : voilà la référence de métier concret, pour les angles non orientés. A un carrefour sur la route, ou en mer, ou en vol, tourner de 30° à droite ou 30° à gauche n'aura pas du tout les mêmes résultats quant à la route suivie. En avion, piquer de 15° ou grimper de 15°, c'est concrètement fort différent. Voilà des angles orientés.

Discussion originale sur le groupe fr.sci.physique en mai 2008: [http://groups.google.com/group/fr.sci.physique/browse_thread/thread/8f6511c452e56088/d1df7e792fa2ae3f?hl=fr&q=group:fr.sci.physique+%22tr%C3%A8s+modeste+anc%C3%AAtre+protochord%C3%A9%22+Max+Planck#d1df7e792fa2ae3f Re: La microphysique est-elle ondulatoire, quantique, ou poltergeist ?]

Extraction du message qui concerne la didactique : [http://deonto-famille.org/citoyens/debattre/index.php?topic=588.0 Pas de concepts sans références concrètes préalables.]

=== Quel peut être le cahier des charges pour le signifié, qui le sépare nettement des références ? ===

'''Le signifié doit être une catégorie''', relevant déjà d'un niveau d'abstraction et de généralisation par rapport aux quelques références concrètes auxquelles chacun d'entre nous peut accéder dans sa vie. '''Les références n'en sont que des exemples''', dont la suite des expériences nous dira si ce jeu d'exemples est suffisant, et dépourvu de contradictions ou d'hétérogénéités.

Vous devez pouvoir mettre l'enfant devant la référence de base : ''Voilà, c'est ça un ours, un phoque, un chêne''...

Le concept se construit ensuite progressivement, en se confrontant notamment à ses frontières, et d'abord à ses antagonistes. Voici un chêne à port de peuplier. Voici un chêne dont les feuilles miment celles du saule. Et voici encore un chêne du Japon, à feuilles de châtaignier. Et voici l'yeuse, à feuilles de houx... Finalement c'est le gland qui est le critère botanique du genre Quercus (500 espèces) dans la famille des fagacés.

Quand j'étais petit, le concept de "''pinnipède''" englobait les phoques et les otaries. Maintenant, on sait qu'ils descendent de deux ancêtres terrestres différents. Référence concrète : au zoo de Vincennes, les otaries nagent constamment en acrobaties perpétuelles, en se servant largement de leurs nageoires antérieures pour évoluer comme des martinets aquatiques. Les phoques dorment au fond du bassin, ne venant à la surface que pour reprendre de l'air.

Les documentaires nous ont aussi montré leurs différences dans leurs locomotions terrestres. Là encore, les otaries se servent largement davantage de leurs antérieurs, quand les phoques se contentent de ramper à coup de reins.

Nos références sont donc là les livres - mmh, pas terribles - les documentaires, et nos visites au zoo.

Donc Danièle Morange nous invitait à construire nos didactiques puis nos pédagogies sur le triangle complet : référence, signifié, signifiant.

== Si les mots reflètent les faits, les idées seront justes ==

Fin 18e siècle, un éditeur va demander à Louis-Bernard GUYTON DE MORVEAU (chimiste français, 1737-1816) qui enseigne la chimie à Dijon de rédiger un Dictionnaire de la Chimie pour l'Encyclopédie méthodique. Guyton de Morveau comprit que l'écriture de cet ouvrage devrait être l'occasion pour mettre de l'ordre dans le fatras des termes utilisés en chimie. Les premiers contacts entre LAVOISIER et Guyton datent de 1775, mais ils ne travaillent ensemble qu'à partir de 1785 sur la nouvelle nomenclature.

Pour Étienne BONNOT DE CONDILLAC (philosophe français, 1715-1780) l'emploi de termes précis est essentiel dans l'élaboration d'une théorie : "''L'analyse ne nous apprendra donc à raisonner qu'autant qu'en nous apprenant à bien faire notre langue ; et tout l'art de raisonner se réduit à l'art de bien parler''" (Logique, Ch. V).

Cela fera écrire à Lavoisier : "''Il est temps de débarrasser la chimie des obstacles de toutes espèces qui retardent ses progrès ; d'y introduire un véritable esprit d'analyse, et nous avons suffisamment établi que c'était par le perfectionnement du langage que cette réforme devait être opérée... pourvu que ce soit une méthode de nommer, plutôt qu'une nomenclature elle s'adaptera naturellement aux travaux qui seront faits par la suite ; elle marquera d'avance la place et le nom des nouvelles substances qui pourront être découvertes.''" 
Pour faire cette nomenclature, Lavoisier, Guyton et quelques autres chimistes vont établir des règles simples qui pour la plupart subsistent encore de nos jours : 
• Chaque substance doit avoir un nom et ne pas être une périphrase. Par exemple la base de l'air vital devient oxygène (qui génère les acides), ou encore l'azote (ou radical nitrique) remplace base de l'air phlogistiqué ou mofète atmosphérique... 
• Le nom d'un composé chimique doit en évoquer les constituants et le caractériser sans rappeler le nom de l'inventeur. Ainsi le sel de Glauber devient du sulfate de soude, le sédatif devient de l'acide boracique (on dit maintenant acide borique) et l'acide vitriolique de l'acide sulfurique. 
• Toute substance de composition incertaine doit recevoir une dénomination ne signifiant rien, plutôt qu'une autre pouvant exprimer une idée fausse. 
• Les termes nouveaux sont à former d'après les racines prises dans les langues mortes les plus généralement répandues, c'est-à-dire le grec et le latin. Ainsi oxygène = générateur d'acide (Lavoisier pensait que tous les acides contenaient de l'oxygène), hydrogène = générateur d'eau, azote = empêche la vie (zôein, "vivre" en grec).
Voici ce que Lavoisier écrit : "''Les noms au surplus qui sont actuellement en usage, tels ceux de poudre d'algaroth, de sel alembroth, de pompholix, d'eau phagédénique, de tirbith minérale, d'ethiops, de colcothar, et beaucoup d'autres ne sont ni moins durs, ni moins extraordinaires ; il faut une grande habitude et beaucoup de mémoire pour se rappeler les substances qu'ils expriment, et surtout pour reconnaître à quel genre de combinaison ils appartiennent. Les noms d'huile de tartre par défaillance, d'huile de vitriol, de beurres d'arsenic et d'antimoine, de fleurs de zinc, etc. sont plus ridicules encore, parce qu'ils font naître des idées fausses ; parce qu'il n'existe à proprement parler, dans le règne minéral, et surtout dans le règne métallique, ni beurre, ni huile, ni fleurs ; enfin parce que les substances qu'on désigne sous ces noms trompeurs, sont la plupart de violents poisons.''" 
Certains termes vont perdre en poésie mais gagner en compréhension. Les cristaux de Vénus deviennent nitrate de cuivre, les fleurs de Jupiter oxyde d'étain, le sucre de Saturne acétate de plomb et la Lune cornée du muriate d'argent. 
Le tableau de la nomenclature va comporter six colonnes 
# Colonne I : les "substances non décomposées" ; on y trouve la lumière, la chaleur mais aussi l'oxygène, l'hydrogène et l'azote.
# Colonne II : les substances "mises à l'état de gaz Par le calorique", on y rencontre le gaz hydrogène.
# Colonne III : les substances "combinées avec l oxygène" : eau, acide carbonique, acide sulfurique...
# Colonne IV : les substances "oxygénées gazeuses" ; gaz acide carbonique, gaz acide sulfureux...
# Colonne V : les substances "oxygénées avec bases" les sulfates, les carbonates, les nitrates...
# Colonne VI : Les substances "combinées sans être portées à l'état d'acide" : carbure de fer, sulfure, ...

Ce traité va paraître en 1787 sous le titre de '''Méthode de nomenclature chimique'''. Sa publication va avoir des côtés très positifs pour l'élaboration de la chimie et de sa clarification. Avant cette nouvelle méthode, le gaz carbonique possédait au moins vingt noms différents. Malheureusement il y a également des côtés négatifs, ainsi les traités d'alchimie deviennent inintelligibles à cause du vocabulaire et certains travaux anciens tomberont dans l'oubli. Avant Lavoisier on utilisait le même langage dans les amphithéâtres et dans les ateliers, après, les langages deviennent différents, ce qui va provoquer un divorce entre le milieu des universitaires et celui des artisans.

"''L'acide sulfurique exprimera le soufre saturé d'oxygène autant qu'il peut l'être ; c'est-à-dire ce qu'on appelait acide vitriolique.
L'acide sulfureux exprimera le soufre uni à une moindre quantité d'oxygène ; c'est-à-dire ce qu'on nommait acide vitriolique sulfureux volatil, ou acide vitriolique phlogistiqué. 
Sulfate fera le nom générique de tous les sels formés de l'acide sulfurique. 
Sulfite fera le nom des sels formés de l'acide sulfureux.''"

Extrait de l'ouvrage "'''Méthode de nomenclature chimique'''" 
L'information provient d’un manuel pour classes de secondes : '''Techniques des Sciences Physiques''', chez Dunod, sous la direction de René Prunet, 1994.

== Vers une normalisation interprofessionnelle des degrés d'abstraction ==

Voici un schéma déjà ancien, résumant mon idée sur la stratification des degrés d'abstraction :

[[Fichier:Schema_abstraire.gif]]

Physiciens, notre métier est de faire des modèles physiques, et si possible des théories physiques. Mario Bunge (Philosophie de la physique, trad. au Seuil, 1975) nous a appris que nous utilisons, explicitement ou clandestinement, trois classes d'axiomes, ou postulats : 
# les axiomes formels, mathématiques et logiques, que nous empruntons à nos voisins,
# les hypothèses sémantiques (Ceci désigne ...) qui sont de notre responsabilité,
# les hypothèses physiques, qui nous incombent aussi.

En ce qui me concerne, j'interviens ces temps-ci sur le terrain où la communauté scientifique des physiciens et des enseignants de sciences est gravement négligente : les hypothèses sémantiques. 
C'est en constatant ces carences que j'ai été contraint de formaliser des niveaux d'abstractions normalisés. Cela bouscule toutes leurs habitudes, c'est évident...
Ce n'est pas par sadisme que j'ai proposé cette normalisation, mais parce que j'ai constaté que c'est un prérequis des communications interprofessionnelles fiables et fécondes.

L'application pratique a été vivement controversée : un angle est-il un nombre ou une grandeur physique ? Les auteurs se sont taxés réciproquement de confusion. Plus précisément, je soutenais que si un argument de fonction sinus est bien un nombre, il n'en reste pas moins qu'un angle est un descripteur de quelque chose, donc appartient à l'étage des grandeurs physiques :

L'argument d'une fonction sinus réelle, fonction décrite par son développement de Mac Laurin, est bien un nombre réel. OK. C'est un fort argument pour que les mathématiciens préfèrent qu'un angle soit exprimé dans l'unité radian, de préférence à toute autre : le nombre de radians donne l'argument le plus simple pour la série de Mac Laurin. 
La déviation que chaque train d'aimants fait prendre au faisceau d'électrons à 6 GeV, dans le générateur de rayonnements gamma et X synchrotron à la limite N.O. de Grenoble (ESRF : The European Synchrotron Radiation Facility), est une réalité physique. L'angle de déviation est un descripteur physique. Ce descripteur se compose d'une unité physique d'angle, et d'un nombre signé, multipliant cette unité physique, et enfin d'un sub-descripteur, décrivant l'équiplan (la direction de plan) contenant cette déviation angulaire, et du sens de rotation positif dans cet équiplan, et enfin un pointeur pointant sur la base active.

Ce nombre multiplieur dépend de l'unité d'angle choisie.

Dans l'espace '''R3''', on peut aussi disposer ce descripteur de rotation comme une matrice de rotation 3x3, et avec toujours un pointeur sur le repère de coordonnées actif ( qui lui-même a un pointeur vers son tenseur métrique). Si ce repère est cartésien, du genre longueur x longueur x longueur, nous voilà dispensés de manipuler explicitement l'unité d'angle, mais dans un repère inhomogène comme le cylindrique, le sphérique ou d'autres plus exotiques, l'unité d'angle est réintroduite par la définition même des coordonnées et du tenseur métrique.

"'''Descripteur'''", retenez bien ce mot. Il est nouveau pour un enseignant de physique, mais les ingénieurs en génie logiciel le connaissent bien, et en font un usage professionnel irréprochable. Il faudra penser à rattraper ce retard conceptuel.

Voilà, à vous maintenant.

Accueil

2015-09-18T12:38:57Z

Jacques Lavau : /* Chapitre 3 : Les opérateurs quart-de-tours entre vecteurs : gyreurs */

= Un rond dans un rond, et qui tournent pareil, c'est vraiment TROP intellectuel pour vous ? =
L'essentiel pour comprendre l'électromagnétisme et pour l'enseigner.

Le champ magnétique produit par une bobine, c'est ''un rond dans un rond et qui tournent pareil'' :

[[Image:Intensite-champ-B.gif]]

L'effet du champ magnétique sur la vitesse d'un électron lancé : ''un rond dans un rond et qui tournent pareil''...

[[Image:V-q-F-B.gif]] 

 Trop compliqué ? 
Alors regardez l'expérience :

Le jet d'électrons dans de l'hydrogène raréfié, dans un champ magnétique uniforme, prend une trajectoire circulaire.
 [[Image:Filifori.jpg]]

 Et l'appareillage complet, avec les deux bobines de Helmholtz qui produisent ce champ magnétique : ''un rond dans un rond et qui tournent pareil''

[[Image:Leybold3R.jpg]]

 Et maintenant on va vous donner le chemin complet qui mène à cette simplicité. 

 

== Cahier des charges de ce projet de rédaction ==
Prendre par la main un professeur de sciences physiques, au niveau d'un élève de classe de 3e, soit quatorze ans, et lui donner les moyens de comprendre et d'enseigner l'électromagnétisme, avec une simplicité et une efficacité qu'on n'a pas encore vues jusqu'à présent : la malchance s'était acharnée sur la profession. 
Lien vers le détail de ce cahier des charges : [[Cahier des charges : grandeurs physiques, vecteurs, gyreurs]].

== Chapitre 1 : Les grandeurs physiques ==
Les contraintes syntaxiques sont des garde-fous indispensables. 
Lien : [[Les grandeurs physiques]]

== Chapitre 2 : Vecteurs, définition, propriétés ==
Exemples : les grandeurs physiques qui sont vectorielles. 
Liens : [[Vecteurs, définition, propriétés]] 
[[Métrique des grandeurs vectorielles en physique]]

== Chapitre 3 : Les opérateurs quart-de-tours entre vecteurs : gyreurs ==

NB : Là un mot du vocabulaire innovant a été complètement renouvelé, grâce aux remarques successives de Florent Merlet, et de Jean-Luc Leroy-Bury (sur feu le forum de l'UdPPC) : il s'agit toujours de tenseurs antisymétriques du second ordre, initialement rebaptisés par moi en 1995 "tourneurs". M. Merlet a proposé "verseurs", qui hérite d'une tradition américaine non éteinte des "versors". Jean-Luc Leroy-Bury a proposé "gyreur", mot de métier ancien, éteint depuis. C'est ce dernier qui est préférable, car les conflits avec les habitudes mathématiciennes de "''versors''" tout abstraits et dispensés des contraintes sémantiques des grandeurs physiques, sont riches de dommages potentiels. Sans compter que dans une classe bruitée, bien des élèves ne feront pas à l'oreille la différence entre "''verseur''" et "''vecteur''".

Les opérateurs et grandeurs physiques qui sont gyratoriels, leurs liens avec les grandeurs vectorielles. 

Lien : [[Les quart-de-tours entre vecteurs : gyreurs]]

== Et pour aller plus loin : métrique et tenseur métrique ==

'''Lemmes pour l'algèbre des gyreurs :''' http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/syntaxe3.htm ou http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/syntaxe3.pdf
 '''Pratique de l’algèbre des gyreurs''' : http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/Syntaxe4.htm ou http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/Syntaxe4.pdf

== Exemples d'applications en cours ==

[http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/Physique/3_champs.pdf Trois champs : de gravité, électrique, magnétique] (niveau Bac Pro).

[http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/rayonnement.html Cours ondes électromagnétiques ] (niveau BEP électronique).

[http://deontologic.org/deonto-famille/citoyens/debattre/index.php/topic,1946.0.html Accélération de Coriolis et inertie.] Applications en enseignement supérieur.

[[Accélération de Coriolis et inertie]].

== Aide : ==
[[Aide]] et [[Piste d'essais]].

==Capacités mathématiques de cette version :==

Les possibilités mathématiques LaTEX avec un Wiki ont été implantables sur cet hébergeur mutualisé, avec MimeteX. Le bouton maths <math>\sqrt x</math> dans l'éditeur de page, vous donne les deux balises de début et de fin de script.

Voir [http://deontologic.org/quantic/index.php?title=Produit_ext%C3%A9rieur[Produit extérieur]].

Documentation :

Documentation brève : http://www.forkosh.com/mimetex.html 
Documentation complète : http://www.forkosh.com/mimetexmanual.html 
Tous détails de la syntaxe : http://www.tug.org/begin.html#doc 
(Référence LaTEX sur deux pages : http://www.stdout.org/~winston/latex/latexsheet.pdf ).

Tous les essais et les discussions sont visibles à la page [http://deonto-ethics.org/mediawiki/index.php?title=Exemples_et_d%C3%A9bats_math%C3%A9matiques[Exemples et débats mathématiques]].

Et voyez : ça marche ! <tex>\unitlength{.6} \picture(100) {
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