Soit l'équation dans R : x²+x+1=0

On peut écrire :
x²+x+1=0 ==> x+1=-x² ... (1)

et
x(x+1)=-1 ==> x(-x²)=-1 ... (d'après (1))
==> x^3=1 ==> x=1

En remplaçant la solution x=1 dans notre équation, on trouve 3=0 !  

Où se trouve la faille ?

--Message edité par Jacques le 2006-04-08 04:21:24--

Citation :

soit l'équation dans R : x²+x+1=0 on peut ecrire : x²+x+1=0 ==> x+1=-x²  ... (1) et x(x+1)=-1 ==> x(-x²)=-1 ... (d'après (1)) ==> x^3=1 ==> x=1 en remplaçant la solution x=1 dans notre équation, on trouve 3=0 !   ou se trouve la faille ?

La première équation est du 2e degré, et a deux racines complexes j et j barre.
En ligne 5 et 6, tu as écrit une équation du 3e degré, qui a les deux mêmes racines complexes, plus la racine réelle +1.
Or cette racine réelle est étrangère à l'équation 1.
Tu as obtenu cette racine étrangère en substituant -x² à x+1, donc en changeant le degré.

ca m'avait pris plus de temps pour trouver la faille.

j n'est pas une racine de l'équation de départ.
Mais là n'était pas le problème.

Tu as des réflexes d'électrotechnicien, pour qui i est l'intensité, donc on appelle chez vous j l'imaginaire pur unitaire.
Alors que chez les matheux, on donne cette lettre aux deux racines complexes de x^3= 1 : j et j barre
Ou si tu préfères (cos 120° plus ou moins i.sin 120°)

--Message edité par Jacques le 2006-04-06 15:29:30--

x^3 - 1 = (x - 1)(x² + x + 1) = (x - 1)(x - j)(x + j)

Je garde la convention d'écriture que j est la première racine cubique complexe de l'unité = exp(i.2.pi/3)

--Message edité par Jacques le 2006-04-06 16:26:46--

Eh bien dis donc !
i et j ont toujours voulu dire pour moi la même chose.
Dans toute la documentation technique que j'utilise, dans tous mes manuels de génie élctrique, on ne fait aucune différence...

Merci , Jacques...
Je viens d'apprendre que j n'est pas i en mathématiques.

L'utilité de ce paradoxe, est qu'il nous fournit un contre-exemple, qui devient indispensable à traiter. Il donne l'exemple d'une transformation non régulière d'équation, alors que personne ne nous avait mis en garde contre. J'avais déjà donné une restriction aux transformations multiplicatives des égalités et équations :
"Vous ne changez pas la valeur de vérité d'une égalité si vous multipliez ou divisez les deux termes par une même grandeur non nulle et qui ne s'annule jamais".

Il n'y a aucune mise en garde pour les transformations additives : ajouter la même grandeur sur les deux plateaux de la balance. Excepté qu'on n'ajoute que des grandeurs de même nature physique.

Mais je n'avais jamais rédigé une telle mise en garde pour les transformations par substitution, et tu m'as mis devant la preuve qu'il faut le faire. Or celle-ci peut s'analyser non comme l'addition d'une égalité à une équation, mais comme addition d'une équation à une autre équation. C'est licite en systèmes de Cramer, mais pas licite dans le cas général.

Ici, tu as procédé à une substitution, comme on le fait avec les systèmes de plusieurs équations, mais ici appliquée à une seule équation. Or quand tu substitues (-x²) à (x+1), ce n'est PAS une égalité. Par exemple ces deux termes ne s'annulent jamais ensemble. Donc tu violes bien la règle "Vous ne changez pas la valeur de vérité d'une égalité si vous ajoutez des deux côtés une même grandeur de même nature physique que les deux termes déjà présents". Autrement dit, tu as le droit d'ajouter une égalité toujours vraie à une équation, mais pas une équation.
Par exemple tu n'as pas le droit d'ajouter l'équation (y = 5)
à l'équation (x = 2) pour résoudre la seconde équation. Tu en changes le domaine de vérité.

Il nous reste évidemment à préciser pourquoi donc alors ces substitutions sont régulières pour résoudre un système d'équations. Ce sera pour le message suivant !

--Message edité par Jacques le 2006-04-11 16:53:59--

Règle de dégonflement d'équation :

Quand vous savez déjà une racine x0 d'une équation [E(x) =0], vous pouvez dégonfler cette équation en la divisant par (x-x0) ou quelque autre expression qui se ramène au premier degré au voisinage de x0.
Le nouvel assortiment de racines est le précédent, amputé d'une occurrence de la racine x0.


Inversement, vous gonflez l'assortiment de racines d'une équation [E(x) =0] quand vous la multipliez par une expression ayant des zéros, par exemple en la multipliant par (x-x1).

Application ci-dessus à : x^3 - 1 = (x - 1)(x² + x + 1) = 0

Là où il faut crier, c'est quand Bachi opère la substitution de x+1 par -x². Car là il remplace un terme non pas par un équivalent, mais par la réécriture de la même contrainte, que l'on espère satisfaite.
Poussons à l'extrême, prenons l'équation évidente x = 3. Elle n'est pas toujours satisfaite, elle ne l'est que si x prend bien la valeur 3.
Je substitue x ou 3 dans cette équation, en la prenant (bien à tort) pour une information, je peux obtenir alors :
3 = 3
et x = x.
Or ces deux équations-là n'ont pas la même valeur de vérité que la précédente ; elles sont toujours satisfaites, elles.

C'est tout de même décevant qu'on ne nous ait jamais mis en garde contre ces manipulations boiteuses d'équations.

J'en ai beaucoup fait des mathématiques.Tellement fait...
Dans mon boulot, je n'en utilise qu'une petite fraction.

Dommage que le peu qui m'en sert encore soit peu sûr.

Mais bon, j'ai ma propre intuition qui me préserve des grosses bourdes.

Personnellement, je préfère raisonner par équivalences, en matière d'équation. Mais Bachi, dans son message initial raisonnait par implications. Voici le piège :
Equation 1, ou contrainte 1 :
(x² + x + 1) = 0
Equation 2, ou contrainte 2 :
x^3 - 1 = 0

Nous sommes bien d'accord (mais malheureusement sans l'avoir démontré) que (1) implique (2), car la contrainte (2) est moins sévère que la contrainte (1).
Il en résulte que l'assortiment de racines de (2) contient l'assortiment de racines de (1).

L'ennui, c'est qu'il contient aussi des racines étrangères à (1), cette racine réelle 1, alors que l'équation (1) n'a aucune racine réelle.

Pour suivre les débats sur fsm

http://groups.google.fr/group/fr.sci.maths/browse_frm/thread/07a585482a4e05fa/7aa4e16a8cdba4ba?hl=fr

--
StefJM

Il n'y a strictement aucun paradoxe, au contraire ! Il est parfaitement inutile de pondre des règles ad hoc pour un cas particulier d'un théorème de logique élémentaire.

Dans la série de déductions postée en premier lieu on montre simplement que supposer que l'équation a une solution réelle conduit à une contradiction. Il s'agit tout simplement de la démonstration par l'absurde, un classique depuis au moins Euclide, que l'équation n'a pas de solution réelle.

Supposons qu'il existe x réel tel que : x²+x+1=0
alors :
x²+x+1=0 ==> x+1=-x² ... (1)
et
x(x+1)=-1 ==> x(-x²)=-1 ... (d'après (1))
==> x^3=1 ==> x=1  [NB c'est ICI qu'on utilise l'hypothèse que x est réel]
en reprenans (1)
==> 3=0
contradiction, donc l'hypothèse de départ est fausse... Remarquez qu'on pourrait aussi bien avoir l'équivalence entre toutes nos manipulations. [P => F] => (non P) est aussi vrai que [P <=> F] => (non P) (et de toute façon F=>P est vrai quel que soit P)

Si l'on se place dans C (malgré l'énoncé de départ qui se place dans R), c'est alors la simple vérification que l'implication stricte correspond à l'inclusion stricte dans un modèle ensembliste de la logique du premier ordre... C'est à dire que
si un prédicat avec une variable libre P(x) implique un autre Q(x) il est équivalent de dire que l'ensemble des x vérifiant P(x) est inclus dans celui vérifiant Q(x) [et en général pas plus, il faut l'équivalence pour que ces ensembles soit égaux].

Que P(x) soit une équation polynomiale ou non, et si oui quel que soit son degré, que P(x) soit même une équation plutôt qu'une autre propriété de la variable x n'ont rien à faire dans l'histoire ! Quand on raisonne par implications on n'obtient que des inclusions d'ensembles de solutions.

Trouver quelque chose de paradoxal ou même problématique dans l'histoire c'est s'étonner que [x=1] => [x=1 ou x=2].

Merci StefJM pour le lien.
Je suis allé lire et cela m'a amusé de lire tant d'agessivité contre Jacques qui n'y est pour rien dans cette affaire.
Mais bon, notre ami Jacques a été habitué à pire.

Paradoxe ou pas.
Ce n'est pas pour rien que j'avais mis le point d'interrogatoion dans le titre.
Je ne suis pas sûr du tout qu'on puisse parler de paradoxe.

Mais l'essentiel pour moi est que j'ai appris des tas de choses avec cet exercice...

Autre version du paradoxe de Bachi :
Prenons 2 nombres a et b égaux.
a=b
a²=ab
a²-b²=ab-b²
a-b)(a+b)=b(a-b)
a+b=b
a=b, donc:
2b=b
2=1
1=0.
Autrement dit, quelque chose = rien

;-)

Le con ne reconnaîtra jamais une erreur, mais il continuera à pontifier ailleurs, croyant que ça ne se voit pas...

Lisez bien tout le fil, si vous suivez le lien du cuistre incompétent et poseur qu'est Jacques Lavau, et constatez l'absence de « dégonflement » du personnage depuis lors : toujours aussi creux, toujours aussi parano, toujours aussi vindicatif et toujours aussi absurde...